[論文レビュー] Moore-Penrose inverse of Gram operator on Hilbert C*-modules

Mohammad Sal Moslehian, Kamran Sharifi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト $C^*$-加群上の正則作用素 $t$ に対するグラム作用素 $t^*t$ のムーア・ペンローズ可逆性を調査し、$t^\flat = (t^*t)^\flat t^*$ および $(t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat}$ が成り立つ条件を確立する。主な貢献は、これらの恒等式が有効である条件の特徴付けであり、特に範囲が直交補空間をもつ場合に注目し、コンパクト作用素の $C^*$-代数上の稠密に定義された閉作用素へ応用する。

ABSTRACT

Let $t$ be a regular operator between Hilbert $C^*$-modules and $t^†$ be its Moore-Penrose inverse. We investigate the Moore-Penrose invertibility of the Gram operator $t^*t$. More precisely, we study some conditions ensuring that $t^† = (t^* t)^† t^*= t^* (t t^*)^†$ and $(t^*t)^†=t^†t^{* †}$ hold. As an application, we get some results for densely defined closed operators on Hilbert $C^*$-modules over $C^*$-algebras of compact operators.

研究の動機と目的

• ヒルベルト $C^*$-加群上の正則作用素 $t$ に対するグラム作用素 $t^*t$ のムーア・ペンローズ可逆性を調査すること。
• $t^\flat = (t^*t)^\flat t^*$ および $(t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat}$ が成り立つ十分条件を同定すること。
• コンパクト作用素の $C^*$-代数上のヒルベルト $C^*$-加群における稠密に定義された閉作用素へ結果を拡張すること。
• 範囲の直交補空間が逆作用素恒等式の有効性に与える役割を明確にすること。

提案手法

• 有界および非有界な正則作用素に焦点を当てた、ヒルベルト $C^*$-加群および随伴可能作用素の理論を用いる。
• ムーア・ペンローズ逆作用素の極限表現 $t^\flat = \lim_{\omega \to 0^+} t^* (\omega 1 + t t^*)^{-1}$ を適用する。
• スペクトル理論と有界摂動技法を、リゾルベント $(\omega 1 + t t^*)^{-1}$ を通じて用いる。
• 作用素の等式を評価するために、特に $\text{Dom}(t^\flat) \supseteq \text{Ran}(t^* (t t^*)^\flat)$ のような定義域の包含関係と範囲の性質を分析する。
• 範囲 $\overline{\text{Ran}(t)}$ および $\overline{\text{Ran}(t^*)}$ が直交補空間をもつという仮定を用いて、可換性および逆作用素恒等式を導出する。
• コンパクト作用素の $C^*$-代数において、[6, 定理 3.8] の結果を適用し、すべての稠密に定義された閉作用素が正則であり、ムーア・ペンローズ逆作用素をもつことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト $C^*$-加群上の正則作用素 $t$ に対して、$t^\flat = (t^*t)^\flat t^*$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 このような作用素に対して、$(t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat}$ が有効となるのはいつか？
• RQ3 作用素の包含関係 $\text{Dom}(t^{*\flat} (t t^*)^\flat) \subset \text{Dom}(t^\flat)$ が真包含になり得るか？ これは逆作用素恒等式に何を意味するか？
• RQ4 $t$ および $t^*$ の範囲の直交補空間は、ムーア・ペンローズ逆作用素の構造にどのように影響するか？
• RQ5 すべての稠密に定義された閉作用素が正則であり、ムーア・ペンローズ逆作用素をもつという結果の意味は何か？

主な発見

• $\overline{\text{Ran}(t^*)}$ および $\overline{\text{Ran}(t)}$ が加群内で直交補空間をもつ限り、恒等式 $t^\flat = (t^*t)^\flat t^*$ が成り立つ。
• 同じ直交補空間の仮定のもとで、恒等式 $(t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat}$ も有効である。
• $\text{Dom}(t^{*\flat} (t t^*)^\flat) \subset \text{Dom}(t^\flat)$ の包含関係は真包含になり得るため、逆作用素恒等式における作用素の包含関係が等号でない可能性があることが示された。
• コンパクト作用素の $C^*$-代数上のヒルベルト $C^*$-加群では、すべての稠密に定義された閉作用素が正則であり、ムーァ・ペンローズ逆作用素をもつ。
• 作用素 $S$ が $t$ および $t^*$ と可換であり、かつ $t$ および $t^*$ の範囲が直交補空間をもつ場合、$S t^\flat \subseteq t^\flat S$ が成り立つ。
• 作用素 $t$ が自己共役であることは、$t = \overline{t^\flat t} t^*$ によって特徴付けられ、ここで $\overline{t^\flat t}$ は $\overline{\text{Ran}(t^*)}$ への直交射影である。