[論文レビュー] Moser-Trudinger type inequalities for complex Monge-Ampère operators and Aubin's "hypothèse fondamentale"

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 48被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、整数クラスをもつコンpactな積分的ケーラー多様体およびℂⁿ内の擬強凸領域において、複素モンジュ・アンプère作用素に関するモーザー・トゥリッジエ型不等式に関するオービンの「基本仮説」を証明する。単位球上のS¹-不変関数に対して鋭い不等式を確立し、それらをブレジス・メリル型不等式と関連づけ、リウヴィル型複素モンジュ・アンプère方程式の解の存在および吹き出し解析に応用する。

ABSTRACT

We prove Aubin's "Hypothese fondamentale" concerning the existence of Moser-Trudinger type inequalities on any integral compact Kähler manifold X. In the case of the anti-canonical class on a Fano manifold the constants in the inequalities are shown to only depend on the dimension of X (but there are counterexamples to the precise value proposed by Aubin). In the different setting of pseudoconvex domains in complex space we also obtain a quasi-sharp version of the inequalities and relate it to Brezis-Merle type inequalities. The inequalities are shown to be sharp for S^{1}-invariant functions on the unit-ball. We give applications to existence and blow-up of solutions to complex Monge-Ampère equations of mean field (Liouville) type.

研究の動機と目的

• 整数ケーラークラスをもつコンパクトケーラー多様体上における、複素モンジュ・アンプère作用素に関するモーザー・トゥリッジ型不等式の存在に関するオービンの「基本仮説」を証明すること。
• ℂⁿ内の擬強凸領域において、準鋭的モーザー・トゥリッジ不等式を確立し、それらをブレジス・メリル型不等式と関連づけること。
• ℂⁿ内の単位球上におけるS¹-不変関数の場合の不等式の鋭さを分析すること。
• 複素モンジュ・アンプère方程式の平均場（リウヴィル）型の解の存在および吹き出し挙動に不等式を応用すること。
• 極値関数の役割および臨界および超臨界領域における解の構造を調査すること。

提案手法

• ラインバンドル上の正の曲率計量の空間におけるマブーチ計量を用い、測地線に沿った凸性を活用すること。
• 空間$k\mathcal{H}_0(X,\omega)$を、$c_1(L)=[\omega]$を満たす正定値ラインバンドル$L$の$k$重テンソル巾の計量空間$\mathcal{H}(kL)$と同一視すること。
• 実の場合のディリクレエネルギーの代わりに、モンジュ・アンプèreエネルギー汎関数$\mathcal{E}_\omega(u)$を用いること。
• $[\omega]$が整数のとき、次の不等式を導出する：$\log\int_X e^{-ku}dV \leq Ak^{n+1}(-\mathcal{E}_\omega(u)) + B$（$u \in \mathcal{H}_0(X,\omega)$）。定数は次元にのみ依存する。
• 準鋭的ブレジス・メリル不等式を用いて、解の吹き出し挙動および特異性構造を分析すること。
• 単位球における回転対称解の分析により、臨界ケース$\gamma = n+1$を研究し、極値関数の回転対称性を仮説化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オービンの「基本仮説」は、整数ケーラークラスをもつコンパクトケーラー多様体上における複素モンジュ・アンプère作用素に対して成立するか？
• RQ2 ℂⁿ内の擬強凸領域において、準鋭的モーザー・トゥリッジ不等式を確立できるか。また、それらはブレジス・メリル不等式とどのように関係するか？
• RQ3 単位球上におけるモーザー・トゥリッジ不等式の鋭い定数は、$S^1$-不変関数によってのみ達成されるか？
• RQ4 臨界および超臨界ケース$\gamma = n+1$および$\gamma > n+1$における複素モンジュ・アンプère方程式の解の挙動はいかなるものか？
• RQ5 関数汎関数$\mathcal{G}_\gamma$の最大値が存在することは、単位球内における解の回転対称性を示唆するか？

主な発見

• 本稿は、整数ケーラークラスをもつコンパクトケーラー多様体上におけるオービンの「基本仮説」を証明し、$u \in \mathcal{H}_0(X,\omega)$に対して不等式$\log\int_X e^{-ku}dV \leq Ak^{n+1}(-\mathcal{E}_\omega(u)) + B$を確立する。
• 反標準線形バンドルのクラスにおけるファノ多様体では、不等式の定数は複素次元$n$にのみ依存するが、オービンが提案した正確な値は反例によって誤りであると示される。
• ℂⁿ内の単位球上では、$S^1$-不変関数に対してモーザー・トゥリッジ不等式は鋭いものであり、極値関数$\phi_0^\epsilon$は$\epsilon \to 0$のとき鋭い定数を達成する。
• 不等式は、すべての$p \in (1,\infty)$に対して$\|u\|_{L^p(X)}^{n+1} \leq Cp^n(-\mathcal{E}_\omega(u))$というソボレフ型推定式と同値であることが示され、$C$は$\omega$にのみ依存する。
• 臨界ケース$\gamma = n+1$では、汎関数$\mathcal{G}_\gamma$が上に有界であることは、鋭いモーザー・トゥリッジ不等式が成り立つことと同値であり、これはすべての極値解が回転対称であるという予想から導かれる。
• 超臨界ケース$\gamma > n+1$では、汎関数$\mathcal{G}_\gamma$は上に有界でないため、最大値は存在せず、関連するモンジュ・アンプère方程式の解は$\mathcal{E}^1(\Omega)$内には存在しない。