[論文レビュー] Most irreducible representations of the 3-string braid group

Lieven Le Bruyn|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべての有限次元 $n$ に対して、3本のストリングからなるブレード群 $B_3$ の半単純表現のモジュライ空間のすべての既約成分について、明示的かつザリスキ・_dense な有理パラメータ表示を構築する。クワイバーレプリゼンテーションと標準線形系を活用することで、これまでの結果をすべての $n$ に一般化し、各成分 $X_\sigma$ に対して一様な有理写像 $\mathbb{A}^{n_\sigma} \dashrightarrow X_\sigma \subset \mathrm{iss}_n B_3$ を得る。ここで $\sigma = (a,b;x,y,z)$ は次元ベクトルである。

ABSTRACT

As the 3-string braid group B(3) and the modular group PSL(2,Z) are both of wild representation type one cannot expect a full classification of all their finite dimensional simple representations. Still, one can aim to describe 'most' irreducible representations by constructing for each d-dimensional irreducible component X of the variety iss(n,B(3)) classifying the isomorphism classes of semi-simple n-dimensional representations of B(3) an explicit minimal etale rational map A^d --> X having a Zariski dense image. Such rational dense parametrizations were obtained for all components when n < 12 in \cite{arXiv:1003.1610v1}. The aim of the present paper is to establish such parametrizations for all finite dimensions n.

研究の動機と目的

• 既知の $n \leq 5$ の場合を超えて、3本のストリングからなるブレード群 $B_3$ の既約表現の分類を、すべての有限次元 $n$ にまで拡張すること。
• モジュライ空間 $\mathrm{iss}_n B_3$ の各既約成分 $X_\sigma$ に対して、明示的かつザリスキ・_dense な有理パラメータ表示を提供すること。
• $n < 12$ の場合の先行結果を統一的かつ一般化し、すべての $n$ に対して有効な完全なフレームワークを構築すること。
• クワイバー表現と標準線形系を用いた体系的な方法を確立し、すべてのこのような成分をパラメータ表示すること。

提案手法

• 標準線形系の同値類と単純クワイバー表現の同型類との間の対応を利用する。
• クワイバー設定における状態、入力、出力演算子のコンパニオン行列と一般行列を用いた有理パラメータ表示を適用する。
• 次元ベクトル $\sigma = (a,b;x,y,z)$ が $n = a + b = x + y + z$ および $x = \max(x,y,z) \leq b = \min(a,b)$ を満たすようにして、成分 $X_\sigma$ を分類する。
• 生成子 $\sigma_1, \sigma_2$ の明示的行列形を構成することで、像が稠密である有理写像 $f_\sigma: \mathbb{A}^{n_\sigma} \dashrightarrow X_\sigma$ を導出する。
• $m$ 個の前向き矢印と $p$ 個の後退矢印を持つクワイバーの構造を用い、制御系をモデル化し、パラメータ表示問題を有理幾何に還元する。
• 基本変換技術と巡回ベクトルの議論を用いて、一般表現をコンパニオン行列と一般成分を含む標準形に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n$ に対して、モジュライ空間 $\mathrm{iss}_n B_3$ の各既約成分 $X_\sigma$ について、有理的かつザリスキ・_dense なパラメータ表示を構築できるか？
• RQ2 $B_3$ のワイルド表現型を克服し、すべての次元にわたる一様なパラメータ表示を実現するにはどうすればよいか？
• RQ3 各成分に対してパラメータ表示を実現する有理写像 $f_\sigma: \mathbb{A}^{n_\sigma} \dashrightarrow X_\sigma$ の正確な形は何か？
• RQ4 次元ベクトル $\sigma = (a,b;x,y,z)$ と関連する $n_\sigma = 1 + n^2 - (a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + z^2)$ が $X_\sigma$ の幾何にどのように寄与するか？
• RQ5 すべての $n$ に対して、クワイバー表現と標準線形系を用いて一様にパラメータ表示を構築できるか？

主な発見

• 次元ベクトル $\sigma = (a,b;x,y,z)$ が $n = a + b = x + y + z$ および $x = \max(x,y,z) \leq b = \min(a,b)$ を満たすすべての既約成分 $X_\sigma$ に対して、有理的かつザリスキ・_dense なパラメータ表示 $f_\sigma: \mathbb{A}^{n_\sigma} \dashrightarrow X_\sigma \subset \mathrm{iss}_n B_3$ が構築された。
• 各成分の次元は $n_\sigma = 1 + n^2 - (a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + z^2)$ で与えられ、エタールの意味で最小である。
• $a = b$ の場合、$B_3$ の生成子 $\sigma_1, \sigma_2$ は、コンパニオン行列と一般成分を含む特定のブロック構造を持つ行列 $B$ の有理関数として明示的に与えられる。
• パラメータ表示は2段階で構築される：まず標準線形系のクワイバー表現を経て、次に基本変換によりコンパニオン行列形に変換する。
• $c = x + y + 1 - a$ の偶奇に応じて $d, e, f$ を適切に定義することで、$c$ の偶奇に関係なく一様な取り扱いが可能となり、すべての $n$ にわたる一貫性が保たれる。
• 最終的な行列 $B$ の形は、$c$ の偶奇に応じて、$1_{e}, A_e, A_d^\dagger, A_g, A_h$ および一般成分を含むブロック形式で明示的に与えられる。