[論文レビュー] Motion of small bodies in general relativity: foundations and implementations of the self-force

Adam Pound|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2010

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 150被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における自己力理論を用いて、強い重力場における小規模なコンact物体の運動を厳密にモデル化するフレームワークを開発する。特に対蹠的漸近展開と二時間スケール展開を組み合わせた特異摂動技法を用いることで、長期間にわたる軌道進化を一様に正確に近似する手法を導出し、LISAに類似した重力波検出器に必要な極端質量比降下の波形を高精度で予測可能にする。

ABSTRACT

Extreme mass-ratio inspirals, in which solar-mass compact bodies spiral into supermassive black holes, are an important potential source for gravitational wave detectors. Because of the extreme mass-ratio, one can model these systems using perturbation theory. However, in order to relate the motion of the small body to the emitted waveform, one requires a model that is accurate on extremely long timescales. Additionally, in order to avoid intractable divergences, one requires a model that treats the small body as asymptotically small rather than exactly pointlike. Both of these difficulties can be resolved by using techniques of singular perturbation theory. I begin this dissertation with an analysis of singular perturbation theory on manifolds, including the common techniques of matched asymptotic expansions and two-timescale expansions. I then formulate a systematic asymptotic expansion in which the metric perturbation due to the body is expanded while a representative worldline is held fixed, and I contrast it with a regular expansion in which both the metric and the worldline must be expanded. This results in an approximation that is potentially uniformly accurate on long timescales. The equation of motion for the body's fixed worldline is determined by performing a local-in-space expansion in the neighbourhood of the body. Using this local expansion as boundary data, I construct a global solution to the perturbative Einstein equation. To concretely characterize orbits, I next devise a relativistic generalization of the Newtonian method of osculating orbits. Making use of this method and two-timescale expansions, I examine the utility of adiabatic approximations that can forgo an explicit calculation of the force.

研究の動機と目的

• 長期間にわたって一様に正確な、一般相対性理論における小物体運動の体系的漸近展開を構築すること。
• 小物体を点質量ではなく漸近的に小さく扱うことで、自己力計算における発散を解消すること。
• 局所的展開とアインシュタイン方程式のグローバル解を用いて、小物体の世界線に対する一貫した運動方程式を定式化すること。
• ニュートン的オシレーティング軌道法を相対論的で曲がった時空に一般化し、軌道要素を特徴付けること。
• 散乱的効果を二時間スケール展開を用いて考慮しつつ、断熱近似が系の真の力学をどの程度捉えられるかをテスト・検証すること。

提案手法

• 多様体上の特異摂動理論、特に対蹠的漸近展開を用いて、内側（物体近傍）と外側（背景）の時空領域を分離すること。
• 固定世界線展開を採用し、計量摂動を展開するが、世界線自体を展開しないことで、世界線の展開を回避すること。
• 物体近傍の局所的展開を外側領域の境界条件として用い、アインシュタイン方程式のグローバル解を構築すること。
• デットワイラー＝ホイットイング正則場を用いて自己力を定義し、物理的に関係する放射反動効果を分離すること。
• 二時間スケール展開を適用し、高速な軌道運動と遅い長期的進化を分離し、軌道要素の長期間積分を可能にすること。
• キリングベクトルの対称性を用いて、軌道要素の時間変化を自己力成分に結びつけることで、相対論的オシレーティング軌道方程式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い重力場における小物体の運動を、長期間にわたって一様に正確に近似する方法は何か？
• RQ2 小物体を点質量ではなく漸近的に小さく扱う場合、自己力運動方程式の正しい定式化は何か？
• RQ3 極端質量比降下の文脈において、オシレーティング軌道法を相対論的で曲がった時空の軌道に一般化する方法は何か？
• RQ4 断熱近似が系の真の力学をどの程度正しく捉えられるか。また、二時間スケール展開を用いてその検証は可能か？
• RQ5 自己力の計算における数値的・解析的課題は何か。また、軌道進化方程式の代替定式化によってそれらをどのように軽減できるか？

主な発見

• 固定世界線展開により、計量摂動および軌道進化に対して、正則展開で生じる発散を回避する一様に正確な近似が得られる。
• 自己力運動方程式は物体近傍の局所的展開を用いて導出され、正則場 $ h^R_{etaeta} $ を用いて世界線上の有効力が定義される。
• キリングベクトルの対称性を用いて、自己力成分 $ a^t $ と $ a^ ho $ と軌道要素 $ p, e, w $ の時間微分を関係づけることで、オシレーティング軌道の相対論的一般化が達成される。
• $ \frac{dp}{d\tau}, \frac{de}{d\tau}, \frac{dw}{d\tau} $ の導出された進化方程式は、本文中の式と解析的に同等であるが、$ e=0 $ および $ \sin v = 0 $ で数値的不安定性を示しており、代替定式化の必要性が示唆される。
• 二時間スケール展開は長期的進化を適切に捉えており、テストケースにおける正確な解との比較により、既知の結果と整合性があることが検証された。
• このフレームワークにより、極端質量比降下の波形を長期間にわたり高精度で計算可能となり、重力波検出に不可欠である。