[論文レビュー] Motives for elliptic modular groups

Takashi Ichikawa|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特異点を含むモジュラー曲線の基本群から構成される楕円モジュラー動機に対するヘッケ作用素の新理論を提示する。ユニバーサル楕円曲線の有限部分群による商を用いてヘッケ作用を定義することで、ガロア作用と合同関係を確立し、これらの動機が数体上での純粋動機に分解されることを証明する。これにより、反復シムラ積分およびモジュラー・セレーササイクルの周期の代数的性が示される。

ABSTRACT

In the study of the arithmetic structure of elliptic modular groups which are the fundamental groups of compactified modular curves, these truncated group algebras and their direct sums are considered to construct elliptic modular motives. Our main result is a new theory of Hecke operators on these motives which gives a congruence relation to the Galois action, and their motivic decomposition. Using our Hecke theory, we show that elliptic modular motives are the direct sums of pure motives over certain number fields. This fact implies a kind of algebraicity on iterated Shimura integrals, i.e., multiple L-values of cusp forms of weight 2, and on the periods of modular Ceresa cycles.

研究の動機と目的

• ガロア作用と整合するモチビックヘッケ理論を、楕円モジュラー群に対して構築すること。
• 楕円モジュラー動機が数体上での純粋動機に分解されることを示し、代数的性に関する結果を得ること。
• ヘッケ理論を尖点形式の重さ2の反復シムラ積分およびモジュラー・セレーササイクルの周期に適用すること。
• 多重L値およびモジュラー曲線上の除数周期の代数的性を理解するためのモチビック枠組みを提供すること。

提案手法

• 特異点におけるコンパクト化モジュラー曲線の基本群の切断群代数の直和として楕円モジュラー動機を構成する。
• ユニバーサル楕円曲線の有限部分群による商を用いてヘッケ作用素を定義し、動機上の作用が適切に定義されることを保証する。
• 動機のl進実現におけるヘッケ作用とガロア作用の間の合同関係を確立する。
• ヘッケ固有空間へのモチビック分解（スカラー部分と冪零部分）を用いて、動機の構造を分析する。
• 代数的基本群およびマリチェフリー代数に関する結果を用いて、ヘッケ作用の適切な定義を検証する。
• 混合ホッジ構造およびQ-混合ホッジ構造の圏におけるExt群を用いて、セレーササイクルおよび除数周期を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア作用と整合するように、モジュラー曲線のモチビック基本群にヘッケ作用素をどのように定義できるか。
• RQ2 楕円モジュラー動機が数体上での純粋動機にどの程度分解可能か。
• RQ3 重さ2の尖点形式の反復シムラ積分が示す代数的性質は何か。
• RQ4 モジュラー・セレーササイクルの周期は代数的か。そして、モチビック手法を用いてその性質をどのように示せるか。
• RQ5 モジュラー・セレーササイクルの非自明性は、ヘッケ不変周期によって検出可能か。

主な発見

• 楕円モジュラー動機上のヘッケ作用素は、ガロア作用と合同関係を満たし、l進実現との整合性が保証される。
• 楕円モジュラー動機は数体上での純粋動機の直和として分解され、これにより基底拡大後のモチビック構造が半単純であることが示される。
• 重さ2の反復シムラ積分（尖点形式の多重L値を表す）はヘッケ作用で保存され、その作用に関する問題に対する解決が得られる。
• モジュラー・セレーササイクルの周期は代数的である。これは、Q-代数的閉包上のQ-混合ホッジ構造の圏における関連するExt類の自明性によって示される。
• セレーササイクルに関連する除数 $ D_0 $ は、その周期積分における係数 $ a_i $ のいずれかが無理数であれば、 torsion を除いて無限大位数をとる。これはヘッケ計算によって検出可能である。
• セレーササイクルに関連する完全列のモチビック分解により、対応する拡張類がQ-代数的閉包上のQ-混合ホッジ構造の圏で自明であることが示される。