[論文レビュー] Motivic classes of generalized Kummer schemes via relative power structures

Andrew Morrison, Junliang Shen|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アーベルモノイド上の代数的多様体のグロテンディーク環に対して相対的パワー構造を構築し、一般化されたクーマー多様体のモチーフ的クラスを計算する。チアのヒルベルト多様体の公式を一般化し、ガルブランズェンのオイラー標数に関する予想を証明する。また、表面および3次元多様体におけるクーマー多様体の仮想モチーフについて明示的な公式を提供し、特に3次元の場合の $χ_y$ 指標に対して $y\leftrightarrow y^{-1}$ 対称性を持つ新しい公式を提示する。

ABSTRACT

We develop a power structure over the Grothendieck ring of varieties relative to an abelian monoid, which allows us to compute the motivic class of the generalized Kummer scheme. We obtain a generalized version of Cheah's formula for the Hilbert scheme of points, which specializes to Gulbrandsen's conjecture for Euler characteristics. Moreover, in the surface case we prove a conjecture of Göttsche for geometrically ruled surfaces, and we obtain an explicit formula for the virtual motive of the generalized Kummer scheme in dimension three.

研究の動機と目的

• アーベルモノイド上の代数的多様体のグロテンディーク環に相対的パワー構造を構築し、一般化されたクーマー多様体を研究すること。
• 点のヒルベルト多様体のチアの公式をモチーフ的設定に一般化すること。
• 一般化されたクーマー多様体のオイラー標数に関するガルブランズェンの予想を証明すること。
• 3次元における一般化されたクーマー多様体の仮想モチーフを計算すること。
• 結果を曲線、表面、3次元多様体上のねじれ層のスタックのモチーフ的クラスへと拡張すること。

提案手法

• アーベル多様体 $A$ に対して、グロテンディーク環 $K_0(\text{Var}/A)$ 上に相対的パワー構造を導入する。
• ファイブレーション $X\to A$ 上の $n$ 点のヒルベルト多様体とそのヒルベルト＝チャウ写像を用い、ゼロのファイバーとして一般化されたクーマー多様体を定義する。
• 補題 2.8 を用いて、$A$ 上のヒルベルト多様体のモチーフ的クラスを引き戻し、$K_n(X)$ のモチーフ的クラスを得る。
• 特に3次元の場合に、局所的完全交差的スキームの仮想モチーフを $K_0(\text{HS})[\mathbb{L}^{-1/2}]$ で扱う。
• 生成関数 $\mathcal{T}_X(t)$ および $\mathcal{H}_g^{\text{vir}}(t)$ を用いて、ねじれ層スタックのモチーフ的クラスを符号化する。
• 対称的パワー構造とヤング部分群の不変量を用い、$0^*$-引き戻しと $g(\alpha)$-重み付き項を通じてクーマーのファイバーを抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルモノイド上の代数的多様体のグロテンディーク環に相対的パワー構造を構築し、一般化されたクーマー多様体のモチーフ的クラスを計算できるか？
• RQ2 一般化されたクーマー多様体のモチーフ的クラスは、ヒルベルト多様体のチアの公式に類似した公式をもつか？
• RQ3 モチーフ的手法を用いて、$K_n(X)$ のオイラー標数に関するガルブランズェンの予想を証明できるか？
• RQ4 3次元における一般化されたクーマー多様体の仮想モチーフの明示的公式は何か？
• RQ5 $K_n(X)$ のホッジ＝デリーニュ多項式および $\chi_y$ 指数は、$y \leftrightarrow y^{-1}$ 対称性をどのように反映するか？

主な発見

• 論文は、点のヒルベルト多様体のモチーフ的クラスに関してチアの公式の一般化された版を証明し、アーベル多様体上の相対的設定に拡張する。
• 3次元における一般化されたクーマー多様体の仮想モチーフに関する新しい公式を確立し、滑らかでない場合にも一般化を達成する。
• 表面の場合、公式はゲーツェの予想を回復し、$g=2$ の場合にゲーツェ–ゾーガルの結果を確認する。さらに、$g=1$ の場合にゲーツェの予想を証明する。
• 3次元の場合、$X = K3 \times E$ とすると、$[K_n(X)]_{\text{vir}}$ の $\chi_y$ 指数が $y \leftrightarrow y^{-1}$ 対称性を満たすことが示される：$\chi_{-y}([K_n(X)]_{\text{vir}}) = (y^{-n/2} + \cdots + y^{n/2}) \sum_{d\cdot m=n} d^2(y^{-m/2} + 22 + y^{m/2})$。
• 3次元多様体 $X$ に対して、$K_n(X)$ の仮想モチーフは $[\mathcal{T}_n(X)\to A]_{\text{vir}} = \sum_{\sum m r_i^m = n} \prod_{m\geq 1} m_*\left( \prod_{i=1}^{l_m} \mathbb{L}^{-r_i^m} \frac{[\text{Sym}^{r_i^m}(X)\to A]}{\mathbb{L}^{s_i(r_{\bullet}^m)} - 1} \right)$ で与えられる。