[論文レビュー] Motivic theory of representation varieties via Topological Quantum Field Theories

Ángel González-Prieto|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の genus および任意の数のマークドポイント、およびジョルダン型ホロノミーを有する閉じた可定向曲面上の parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-表現多様体のモチーフ的類を計算する、新しいラックスモノイダルトポロジカル量子場理論（TQFT）フレームワークを導入する。物理的インスピレーションに基づく TQFT の構成を一般化することで、デリーニュ＝ホッジ多項式の明示的計算が可能となり、既存の $g=1,2,3$ およびさまざまなパラボリック構造に対する結果を回復・拡張する閉形式の公式が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we use lax monoidal TQFTs as an effective computational method for motivic classes of representation varieties. In particular, we perform the calculation for parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-representation varieties over a closed orientable surface of arbitrary genus and any number of marked points with holonomies of Jordan type. This technique is based on a building method of lax monoidal TQFTs of physical inspiration that generalizes the construction of González-Prieto, Logares and Muñoz.

研究の動機と目的

• 閉じた可定向曲面上の任意の genus およびマークドポイントを有する parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-表現多様体のモチーフ的類を体系的に計算するための手法を開発すること。
• 従来のストラティフィケーション法や算術的手法の限界を克服し、先行研究を一般化するカテゴリカルで TQFT に依存するアプローチを導入すること。
• 非一般的またはジョルダン型の共役類を有する場合の、これらの多様体のデリーニュ＝ホッジ多項式を閉形式で計算すること。
• $g=1,2,3$ および1つまたは2つのマークドポイントを有する場合の $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-キャラクター多様体に関する既存の結果を統合・拡張すること。
• シンボリック計算を用いて他の群やパラボリック構造へも適応可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本稿は、物理的インスピレーションに基づく構築法から、González-Prieto, Logares, Muñoz の先行研究を一般化したラックスモノイダル TQFT $Z_G$ を構成する。
• TQFT は、表面およびマークドポイントに対して、重み空間 $\mathscr{W}_0$ 上の線形写像を割り当て、表現多様体のモチーフ的類を符号化する。
• 主要な構成要素には、$\mathscr{Z}^{gm}(L)$, $\mathscr{Z}^{gm}(L_{[J_+]}$, $\mathscr{Z}^{gm}(T)$, および $\mathscr{Z}^{gm}(D)$ の行列が含まれ、これらは TQFT 内の生成子および包含／射影を表す。
• 表現多様体の仮想類は、$[\mathfrak{X}_{\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})}(\Sigma_g,Q)] = \frac{1}{(q^3 - q)^{g+r}} \mathscr{Z}^{gm}(D^\dagger) \circ PB^r A^g \circ P \mathscr{Z}^{gm}(D)(\star)$ として計算され、$A$ および $B$ は共役作用から導かれる対角行列である。
• $\sigma = -1$ の場合、$\mathscr{Z}^{gm}(L_{-\mathrm{Id}})$ 項が追加され、1つのマークドポイントにおける $-\mathrm{Id}$ ホロノミーを考慮する形で公式が修正される。
• シンボリック計算ソフトウェアを用いて $P$, $A$, および $B$ の行列を計算し、モチーフ的類の明示的評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus および任意の数のマークドポイント、ジョルダン型ホロノミーを有する parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-表現多様体のモチーフ的類は、どのように計算可能か？
• RQ2 TQFTに基づく手法は、既存のストラティフィケーション法や算術的手法を越えて、デリーニュ＝ホッジ多項式を統一的かつ一般化可能に計算するフレームワークを提供できるか？
• RQ3 ホロノミーが非一般的な場合、たとえば $[J_+]$ や $[-\mathrm{Id}]$ の場合、モチーフ的類の正確な構造は何か？
• RQ4 得られた結果は、$g=1,2,3$ および1つまたは2つのマークドポイントを有する既存の計算とどのように比較され、拡張されるか？
• RQ5 TQFTフレームワークは、$r=0$ に設定することで非パラボリックケースを回復できるか？ ただし、特定の作用素が可逆でないことに注意する。

主な発見

• 本稿は、genus $g$ の曲面に $r$ 個のマークドポイントおよび $[J_+]$ 内のホロノミーを有する $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-表現多様体のモチーフ的類について、閉形式の公式を導出する。その公式は $[\mathfrak{X}_{\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})}(\Sigma_g,Q)] = \frac{1}{(q^3 - q)^{g+r}} \mathscr{Z}^{gm}(D^\dagger) PB^r A^g P \mathscr{Z}^{gm}(D)(\star)$ である。
• 1つの $[-\mathrm{Id}]$ ホロノミーを有する場合、追加の $\mathscr{Z}^{gm}(L_{-\mathrm{Id}})$ 項が含まれ、公式は $[\mathfrak{X}_{\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})}(\Sigma_g,Q)] = \frac{1}{(q^3 - q)^{g+r+1}} \mathscr{Z}^{gm}(D^\dagger) \mathscr{Z}^{gm}(L_{-\mathrm{Id}}) PB^r A^g P \mathscr{Z}^{gm}(D)(\star)$ に修正される。
• 既知の結果を回復する：$g=1,2$ および1つのマークドポイントが $[J_\pm]$ にある場合、公式は [31] と一致する。任意の $g$ および $r=0$ または $1$ の場合、[35, Proposition 11] と一致する。$g=1$ で2つのマークドポイントが $[J_\pm]$ にある場合、[30, Section 3] と一致する。
• 非パラボリックケース（$r=0$）は、$\sigma=1$ の公式において $r=0$ と設定することで回復され、$A$ が $r=0$ 時に可逆でないことに起因する補正項 $q(q^2 - 1)^{2g-1}$ が追加される。
• この結果を $q = uv$ と解釈することで、得られる多項式は表現多様体のデリーニュ＝ホッジ多項式となり、$r$ や $g$ が任意の値であっても、既存の結果を一般化する。
• このフレームワークは、標準的な算術的・幾何的手法ではカバーできない非一般的な共役類 $[J_+]$ や $[-\mathrm{Id}]$ をも扱えるほど堅牢である。