[論文レビュー] Motivic twisted K-theory

Markus Spitzweck, Paul Arne Østvær|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、重み1の3次モチーフ的コホロロジー類を用いて、普遍的 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$-バンドルに沿った引き戻しにより定義される、モチーフ的ねじれK理論を導入する。同定は、三重に分類されたTor-スペクトル系列と $E_{\infty}$-環スペクトルの枠組みを用いて、ホモロジカルなモチーフ的ねじれK理論における Künneth同型を確立し、ねじれK理論がねじれ周期的有理モチーフ的コホロロジーに同型であることを示す有理チャーン類を構成する。

ABSTRACT

This paper sets out basic properties of motivic twisted K-theory with respect to degree three motivic cohomology classes of weight one. Motivic twisted K-theory is defined in terms of such motivic cohomology classes by taking pullbacks along the universal principal BG_m-bundle for the classifying space of the multiplicative group scheme. We show a Kuenneth isomorphism for homological motivic twisted K-groups computing the latter as a tensor product of K-groups over the K-theory of BG_m. The proof employs an Adams Hopf algebroid and a tri-graded Tor-spectral sequence for motivic twisted K-theory. By adopting the notion of an E-infinity ring spectrum to the motivic homotopy theoretic setting, we construct spectral sequences relating motivic (co)homology groups to twisted K-groups. It generalizes various spectral sequences computing the algebraic K-groups of schemes over fields. Moreover, we construct a Chern character between motivic twisted K-theory and twisted periodized rational motivic cohomology, and show that it is a rational isomorphism. The paper includes a discussion of some open problems.

研究の動機と目的

• 重み1の3次モチーフ的コホロロジー類を用いて、モチーフ的ねじれK理論の理論を構築すること。
• $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$ のK理論上で、ホモロジカルなモチーフ的ねじれK理論における Künneth同型を確立すること。
• モチーフ的（コ）ホモロジーとねじれK群を結びつけるスペクトル系列を構成し、代数的K理論の古典的スペクトル系列を一般化すること。
• モチーフ的ねじれK理論からねじれ周期的有理モチーフ的コホロロジーへのチャーン類を定義し、それが有理同型であることを証明すること。

提案手法

• クラス $\mathsf{M}\mathbf{Z}^{3,1}(\mathscr{X})$ の元に沿った、普遍的 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$-バンドルに沿ったホモトピー引き戻しにより、モチーフ的ねじれK理論を定義する。
• $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$ と $\mathbf{P}^\infty$ の間のモチーフ的弱同値を用いて、スuspensionスペクトル上のモジュール構造を構成する。
• 三重に分類されたTor-スペクトル系列を用いて、モチーフ的ねじれK理論を計算し、$\mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty)$ 上のアダムズホープ代数的構造を活用する。
• モチーフ的設定における $E_{\infty}$-環スペクトルの概念を採用し、モチーフ的（コ）ホモロジーとねじれK群を関連付ける。
• モチーフ的ねじれK理論からねじれ周期的有理モチーフ的コホロロジーへのチャーン類を構成する。
• ランドウェル正確性と、重み付きホープ代数的構造に基づく余モジュール構造を用いて、チャーン類の有理同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み1の3次モチーフ的コホロロジー類を用いて、ねじれK理論をモチーフ的設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 モチーフ的（コ）ホモロジーとモチーフ的ねじれK理論を結びつけるスペクトル系列は何か？ そして、代数的K理論の古典的スペクトル系列をどのように一般化するか？
• RQ3 モチーフ的ねじれK理論からねじれ周期的有理モチーフ的コホロロジーへのチャーン類が、有理同型をもたらすか？
• RQ4 モチーフ的K理論スペクトル $\mathsf{KGL}$ は $\Sigma^\infty \mathbf{P}^\infty_+$ 上のモジュールとしてどのような構造を持ち、ねじれK理論の構成をどのように支えるか？
• RQ5 ホモロジカルなモチーフ的ねじれK理論における Künneth同型は、$\mathsf{KGL}_\ast(\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}})$ 上のテンソル積の観点からどのように成立するか？

主な発見

• 本稿は、ホモロジカルなモチーフ的ねじれK理論における Künneth同型を確立し、ねじれK群が $\mathsf{KGL}_\ast(\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}})$ 上のテンソル積として表現されることを示した。
• 三重に分類されたTor-スペクトル系列が構成され、$\mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty)$ 上のアダムズホープ代数的構造に依拠して、モチーフ的ねじれK理論を計算する。
• モチーフ的ねじれK理論からねじれ周期的有理モチーフ的コホロロジーへのチャーン類が、有理同型であることが示された。
• $\Sigma^\infty \mathbf{P}^\infty_+$ は環スペクトルとして作用し、普遍的 $\mathsf{B}\mathbf{G}_{\mathfrak{m}}$-バンドルに沿って $\Sigma^\infty \mathscr{X}^{\tau}_+$ がその上のモジュールとなる。
• $(\mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty), \mathsf{KGL}_\ast\mathsf{KGL} \otimes_{\mathsf{KGL}_\ast} \mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty))$ が平坦な重み付きアダムズホープ代数的構造であることが証明された。
• ランドウェル正確性が重み付きモチーフ的設定に適応され、写像 $\eta_L: \mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty) \to \Gamma \otimes_{\mathsf{KGL}_\ast} \mathsf{KGL}_\ast(\mathbf{P}^\infty)$ が平坦であることが示され、基底変換の正確性が保証された。