[論文レビュー] Multi-fusion categories of Harish-Chandra bimodules

Victor Ostrik|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素単純 Lie 代数上の Harish-Chandra 双加群のテンソルカテゴリの半単純部分商として得られる多重融合カテゴリを、関連付ける多様体を用いてフィルトレーションを定義することで導入する。これらのカテゴリ（セルカテゴリと呼ばれる）は、有限群の表現カテゴリと同値であり、Drinfeld 中心の構成と特性層を用いて同定され、Lusztig の分類および有限 W-代数に関する新たな知見が得られる。

ABSTRACT

We survey some results on tensor products of irreducible Harish-Chandra bimodules. It turns out that such tensor products are semisimple in suitable Serre quotient categories. We explain how to identify the resulting semisimple tensor categories and describe some applications to representation theory.

研究の動機と目的

• Harish-Chandra 双加群のテンソルカテゴリ構造を理解すること。これらは非半単純的であり、直接分類することが難しい。
• 関連付ける多様体によるフィルトレーションを用いて、半単純部分商（セルカテゴリと呼ばれる）を定義・研究し、表現論的構造を単純化すること。
• セルカテゴリを、ドリンフェルト中心の構成と同様のカテゴリカルな道具を用いて、有限群の表現カテゴリと同値な多重融合カテゴリとして同定すること。
• この枠組みを有限 W-代数に適用し、その有限次元単純モジュールの情報を回復すること。
• この構成を任意のコクセター群や正標数に一般化し、特性層および Soergel 双加群と関連付けること。

提案手法

• Harish-Chandra 双加群に関連付ける多様体によるフィルトレーションを用いて、階数付きカテゴリを定義し、その階数付き部分はセルカテゴリである。
• 多重融合カテゴリの理論を応用してセルカテゴリを分類し、それらが $\mathrm{Coh}_{\bar{A},\omega}(Y \times Y)$ の形の twisted 表現カテゴリと同値であることを示す。
• ドリンフェルト中心の構成を用いて、セルカテゴリを群 $G$ 上の単純特性層と関連づけ、旗多様体上の函手 $\Gamma = \pi_! f^*$ を通じて結びつける。
• 切断された畳み込みおよび perverse sheaf の技法を用いて、セルカテゴリを幾何的に実現し、正標数への一般化を可能にする。
• Bezrukavnikov らの Whittaker カテゴリおよび W-代数に関する結果を活用して、セルカテゴリの構造を分析する。
• セルカテゴリの作用として有限 W-代数の表現カテゴリを実現し、その有限次元単純モジュールの数を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連付ける多様体によるフィルトレーションを用いて、非半単純的テンソルカテゴリである Harish-Chandra 双加群をどのように単純化できるか？
• RQ2 このフィルトレーションから得られる半単純部分商（セルカテゴリ）の構造は何か？ そして、どのように分類できるか？
• RQ3 セルカテゴリは、旗多様体または群 $G$ 上の perverse sheaf や特性層を用いて幾何的に実現可能か？
• RQ4 これらのカテゴリは有限 W-代数およびその有限次元表現とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、任意のコクセター群や正標数に拡張可能か？ どのような新しい構造が現れるか？

主な発見

• リー代数 $\mathfrak{g}$ の冪零軌道に対応するセルカテゴリは多重融合カテゴリであり、$\mathrm{Coh}_{\bar{A},\omega}(Y \times Y)$、すなわち有限集合 $Y \times Y$ 上の twisted sheaf のカテゴリと同値である。
• 各セルカテゴリ $\mathcal{J}_C$ のドリンフェルト中心は、群 $G$ 上の単純特性層 $\mathcal{U}_C$ のカテゴリと同値であり、中心の単純対象と $\mathcal{U}_C$ 間に一対一対応が存在する。
• 有限 W-代数に対して、セルカテゴリが Whittaker カテゴリに作用することにより、有限次元単純モジュールの数が計算可能となり、既知の結果が回復される。
• この構成は任意のコクセター群に一般化可能であり、セルカテゴリは $\mathrm{Coh}_Q(Y \times Y)$ の形に現れるが、$Q$ が無限大の場合、多重融合カテゴリでない可能性がある。
• 位数 10 の二面体群の場合、セルカテゴリには二つの単純対象をもつ融合部分カテゴリが含まれており、$X \otimes X = \mathbf{1} \oplus X$ を満たす。これは、$\mathrm{Coh}_{A,\omega}(Y \times Y)$ の形とはならないことを示している。
• $\mathcal{U}_C$ が $\mathcal{Z}(\mathcal{J}_C)$ の単純対象と一致することの同定は、Lusztig の単純特性層の分類に対する新しいカテゴリカルな手法を提供する。