[論文レビュー] Multi-instantons in large N Matrix Quantum Mechanics

Marcos Mariño, Pavel Putrov|ArXiv.org|Nov 16, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、大N行列量子力学における基底状態エネルギーの多インスタントン補正について、標準的量子力学における非摂動的WKB量子化条件と関連付けることにより、明示的な公式を導出する。大Nにおける全多インスタントン級数は、通常のWKB結果から非摂動的差分方程式を用いて得られ、1インスタントン振幅が四次ポテンシャルおよびc=1ストリング模型における1/N展開の高次の振る舞いを制御していることが確認される。

ABSTRACT

We calculate the multi-instanton corrections to the ground state energy in large $N$ Matrix Quantum Mechanics. We find that they can be obtained, through a non-perturbative difference equation, from the multi-instanton series in conventional Quantum Mechanics, as determined by the exact WKB method. We test our results by verifying that the one-instanton correction controls the large order behavior of the $1/N$ expansion in the quartic potential and in the $c=1$ string.

研究の動機と目的

• 大N行列量子力学における基底状態エネルギーの多インスタントン補正を計算すること。
• 行列量子力学における1/N展開と標準的量子力学における非摂動的WKB量子化との間の関係を確立すること。
• 四次ポテンシャルやc=1ストリング模型などの可解モデルにおいて、1インスタントン補正が1/N展開の高次の振るまいを制御することを示すこと。
• 非摂動的差分方程式を用いて、全ループの多インスタントン寄与を体系的に抽出する手法を提供すること。

提案手法

• 行列量子力学における1/N展開を、同じポテンシャルを持つ標準的量子力学における基底状態エネルギーのWKB展開と関連付ける差分方程式を用いて再定式化する。
• 特に、ステルス線を越えるリジュメーションと接続同型写像を用いて導かれる正確な量子化条件を用いた非摂動的WKB法を適用し、全多インスタントン級数を決定する。
• 非摂動的エネルギー準位を、Jost関数とその中央値サブレーディング規則を用いて、条件 $ J^{\text{med}}(E) = 1 + e^{i\Omega^{\text{med}}(E)/\hbar} = 0 $ により抽出する。
• ステルス領域間の接続同型写像 $ \mathcal{C}^{\pm}_{RR'} $ は、変形された経路と解析接続を用いて計算され、非摂動的補正の計算を可能にする。
• 差分方程式形式により、大Nにおける多インスタントン振幅が、標準的量子力学における既知のWKB結果から導かれる。
• 四次ポテンシャルおよびc=1ストリングのダブルスケーリング極限において、数値的検証を行い、1ループインスタントン振幅が1/N級数の高次項の成長を正しく制御していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大N行列量子力学における多インスタントン補正は、平面近似を超えて体系的にどのように計算可能か？
• RQ2 標準的量子力学における非摂動的構造と行列量子力学における1/N展開との間の正確な関係は何か？
• RQ3 可解モデル（四次ポテンシャルやc=1ストリング）において、大N理論における1インスタントン振幅が1/N展開の高次の振るまいを正しく制御するか？
• RQ4 大Nにおける全多インスタントン級数は、基礎となる量子力学系のWKB量子化条件から導けるか？
• RQ5 これらの非摂動的補正は、c=1ストリングのような双対ストリング理論においてどのように現れるか？

主な発見

• 大N行列量子力学における多インスタントン補正は、標準的量子力学におけるWKBに基づく多インスタントン級数へ写像する非摂動的差分方程式によって完全に決定される。
• 四次ポテンシャル模型において、大N理論における1ループインスタントン振幅が1/N展開の高次の振るまいを正しく制御しており、数値的に確認された。
• 四次ポテンシャルのダブルスケーリング極限において、本手法はc=1ストリング理論における自由エネルギーの既知の高次振るまいを再現する。
• Jost関数と中央値サブレーディングが中心的役割を果たす正確なWKB量子化条件を通じて、1/N展開と非摂動的効果との間の関係が確立される。
• WKB結果に差分方程式を適用することにより、大Nにおける全多インスタントン級数が得られ、体系的な全ループ計算が可能になる。
• 本フレームワークは、大N理論におけるリジュメーションの具現化を提供し、正確な量子化条件を介して摂動的1/N級数と非摂動的インスタントン効果を結びつける。