[論文レビュー] Multi-marginal Optimal Transport and Schr\"odinger Bridges on Trees

Isabel Haasler, Axel Ringh+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 51被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、木構造のグラフ上のエントロピー正則化多マージナル最適輸送問題に対して、シュレーディンガーの橋問題との関係を活用することで、効率的なアルゴリズムを提案する。木構造を活かすことで、計算を小次元の行列・ベクトル演算に削減し、ペairwise正則化よりも拡散を抑え、区別できないエージェントの正確な追跡を可能にする。

ABSTRACT

The optimal transport problem has recently developed into a powerful framework for various applications in estimation and control. Many of the recent advances in the theory and application of optimal transport are based on regularizing the problem with an entropy term, which connects it to the Schrodinger bridge problem and thus to stochastic optimal control. Moreover, the entropy regularization makes the otherwise computationally demanding optimal transport problem feasible even for large scale settings. This has lead to an accelerated development of optimal transport based methods in a broad range of fields. Many of these applications have a underlying graph structure, for instance information fusion and tracking problems can be described by trees. In this work we consider multi-marginal optimal transport problems with a cost function that decouples according to a tree structure. The entropy regularized multi-marginal optimal transport problem can be viewed as a generalization of the Schrodinger bridge problem on the same tree, and by utilizing these connections we extend the computational methods for the classical optimal transport problem in order to solve structured multi-marginal optimal transport problems in an efficient manner. In particular, the algorithm requires only matrix-vector multiplications of relatively small dimensions. We show that the multi-marginal regularization introduces less diffusion, compared to the commonly used pairwise regularization, and is therefore more suitable for many applications. Numerical examples illustrate this, and we finally apply the proposed framework for tracking of an ensemble of indistinguishable agents.

研究の動機と目的

• 構造的でグラフに従った設定、特に木構造において、多マージナル最適輸送の計算的課題に対処すること。
• 木分解可能なコスト関数を有する多マージナル問題へのエントロピー正則化最適輸送の拡張。
• 標準的なペアワイズ正則化と比較して、輸送解における拡散を低減し、エージェント追跡などの応用で精度を向上させること。
• 大規模問題に対して、低次元の行列・ベクトル演算のみに依存するスケーラブルなアルゴリズムの開発。
• 構造的輸送を用いた区別できないエージェントの集合の追跡に、このフレームワークを適用すること。

提案手法

• コスト関数が木構造に沿って分解する多マージナル最適輸送問題を定式化する。
• 同じ木構造上で、エントロピー正則化多マージナル輸送とシュレーディンガーの橋問題との関係を活用する。
• 木に沿った動的計画法に類似した更新を用いて、輸送計画を効率的に計算する。
• 各ノードにおける局所的な小さなマージナルに限定された繰り返しの行列・ベクトル乗算に問題を還元する。
• コスト関数における変数の木構造的結合を保証する解法を実現する。
• 変分原理およびエントロピー正則化下での最適性条件から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数が木構造的分解を示す場合、多マージナル最適輸送をどのように効率的に解けるか。
• RQ2 拡散および解の忠実度の観点から、多マージナル正則化はペアワイズ正則化に比べてどのような利点を有するか。
• RQ3 シュレーディンガーの橋フレームワークは、木グラフ上の多マージナル輸送に拡張可能か。
• RQ4 本手法は、大規模で構造的な輸送問題において実際のスケーリングにどの程度適応可能か。
• RQ5 このフレームワークは、区別できないエージェントを含む追跡問題に効果的に応用可能か。

主な発見

• 提案手法は、ペアワイズ正則化と比較して、輸送計画における拡散が著しく低減され、より正確な解が得られる。
• 本手法は、小次元の行列・ベクトル演算のみを要するため、大規模問題に対しても効率的な計算が可能である。
• 数値例により、多マージナル正則化がペアワイズ手法よりも構造をよりよく保持することが示された。
• フレームワークは、より高い忠実度で区別できないエージェントの集合の追跡に成功した。
• 木構造的コスト分解により、グラフに沿った局所的更新によって、スケーラブルかつ正確な計算が可能となった。