[論文レビュー] Multifractal analysis of irregular sets for weak Gibbs measures

Thiago Bomfim, Paulo Varandas|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、拡張的レピラー系における弱ギブズ測度の下で、均衡状態の空間平均から逸脱するBirkhoff時間平均を持つ点（不規則集合）の位相的圧力について、厳密な推定を確立する。H"older連続なポテンシャルに対して、区間I内のBirkhoff平均を持つような集合の圧力は、全系の圧力と大偏差レート関数に依存しており、指定性質が成り立つ場合には、大多数の不規則集合が全系の圧力よりも厳密に小さい圧力を持つことを示している。

ABSTRACT

In this article we prove estimates for the topological pressure of the set of points whose Birkhoff time averages are far from the space averages corresponding to the unique equilibrium state that has a weak Gibbs property. In particular, if $f$ has an expanding repeller and $\phi$ is an Holder continuous potential we prove that the topological pressure of the set of points whose accumulation values of Birkhoff averages belong to some interval $I\subset \mathbb R$ can be expressed in terms of the topological pressure of the whole system and the large deviations rate function. As a byproduct we deduce that most irregular sets for maps with the specification property have topological pressure strictly smaller than the whole system. Some extensions to a non-uniformly hyperbolic setting, level-2 irregular sets and hyperbolic flows are also given.

研究の動機と目的

• 弱ギブズ測度の下で、Birkhoff時間平均が空間平均から逸脱する不規則集合の位相的圧力を分析すること。
• このような不規則集合の圧力と大偏差レート関数の間の定量的関係を確立すること。
• 結果を非一様双曲的状況および双曲的フローへと拡張すること。
• 指定性質を満たす系において、不規則集合の位相的圧力が全系の圧力よりも厳密に小さいことを示すこと。

提案手法

• Birkhoff平均のレベル集合を研究するために多分野的解析の技術を用いる。
• 典型的な軌道の測度論的挙動を制御するために弱ギブズ性質を適用する。
• 大偏差原理を用いて、不規則集合の圧力を全系の圧力とレート関数の形で表現する。
• 指定性質を用いて、所望のエルゴード平均を持つ軌道を構成し、圧力の推定を行う。
• ポテンシャルのH"older連続性に依存して、圧力推定の正則性を保証する。
• 一様双曲的系から非一様双曲的系および双曲的フローの設定へと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ギブズ測度の下で、与えられた区間I内のBirkhoff平均を持つ点の集合の位相的圧力は、全系の圧力と比べてどのように異なるか？
• RQ2 拡張的レピラー系において、不規則集合の圧力と大偏差レート関数の正確な関数的関係は何か？
• RQ3 指定性質を満たす系において、不規則集合が全系の圧力よりも厳密に小さい圧力をどれほど持つか？
• RQ4 多分野的圧力に関する結果は、非一様双曲的系および双曲的フローへと拡張可能か？
• RQ5 弱ギブズ性質は、不規則集合の圧力推定にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Birkhoff平均が区間Iに属する点の集合の位相的圧力は、全系の圧力と大偏差レート関数を含む項の和として表現される。
• 指定性質を満たす写像に対して、大多数の不規則集合の位相的圧力は、全系の圧力よりも厳密に小さい。
• 弱ギブズ均衡状態を有するH"older連続ポテンシャルを有する拡張的レピラー上でも、結果は成り立つ。
• 非一様双曲的系および双曲的フローへの拡張が確立され、圧力推定の頑健性が示された。
• レベル2の不規則集合の圧力は、同じ大偏差フレームワークを用いて特徴付けられる。
• 弱ギブズ性質により、不規則集合の測度論的および位相的圧力推定が正確に制御可能となる。