[論文レビュー] Multifraction reduction II: Conjectures for Artin-Tits groups

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ネーター的 GCD-モノイドにおける多分数に対して、最大の鈍感 $i$-還元子の概念を導入し、それがすべての最大 $i$-還元子の最大公約数であり、$
\gcd(a_i, a_{i+1})$ の倍数であることを証明する。繰り返し鈍感還元を施すと鈍感-既約多分数が得られ、Conjecture A（還元系の半収束性）が成り立つための必要十分条件として、単位的で鈍感-既約な多分数が常に自明または還元可能であることを示す。これはアービン＝ティッツ群における分数分解の一意性を示すために重要である。

ABSTRACT

Multifraction reduction is a new approach to the word problem for Artin-Tits groups and, more generally, for the enveloping group of a monoid in which any two elements admit a greatest common divisor. This approach is based on a rewrite system ("reduction") that extends free group reduction. In this paper, we show that assuming that reduction satisfies a weak form of convergence called semi-convergence is sufficient for solving the word problem for the enveloping group, and we connect semi-convergence with other conditions involving reduction. We conjecture that these properties are valid for all Artin-Tits monoids, and provide partial results and numerical evidence supporting such conjectures.

研究の動機と目的

• ネーター的 GCD-モノイドにおける多分数に対して、最大の鈍感 $i$-還元子を定義し、その特徴づけを行う。
• 還元系 $\mathcal{R}_M^{\pm}$ が半収束するための条件を確立する。
• 鈍感-既約多分数の構造とその還元先を調査する。
• アービン＝ティッツモノイドにおける 4-多分数について、Conjecture A と Conjecture B が同値であることを証明する。
• 分数分解 $ab^{-1}$ で $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$ を満たすものについて、その一意性が Conjecture A$_4$ と同値であることを示す。

提案手法

• 多分数 $\underline{a}$ に対して、すべての最大 $i$-還元子の最大公約数として、最大の鈍感 $i$-還元子を定義する。
• この最大の鈍感還元子が一意的であり、$\gcd(a_i, a_{i+1})$ を割ることを証明する。
• Lemma~\ref{L:Tame2} を用いて、最大の鈍感還元子の任意の因数が、再び鈍感還元子であることを示す。
• 演算子 $\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\underline{a})$ を定義し、これは最大の鈍感 $i$-還元子を繰り返し適用した結果を表す。
• アービン＝ティッツモノイド、特にタイプ $\widetilde{A}_2$ にこの概念を適用し、具体例を通じて予想を検証する。
• Conjecture A$_4$ と $\mathcal{U}(M)$ における分数分解の一意性が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アービン＝ティッツモノイドにおける、単位的で鈍感-既約な多分数は、野生還元のもとで共通の還元先をもつのか？
• RQ2 還元系 $\mathcal{R}_M^{\pm}$ が半収束するための必要十分条件は、すべての単位的で鈍感-既約な多分数が自明または還元可能であることか？
• RQ3 最大の鈍感 $i$-還元子は、最大 $i$-還元子の最大公約数として計算可能であり、常に $\gcd(a_i, a_{i+1})$ 以上に位置するのか？
• RQ4 4-多分数の場合に、Conjecture B（$\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\underline{a}) = \underline{1}$ for 単位的 $\underline{a}$）と Conjecture A が同値であるか？
• RQ5 分数分解 $ab^{-1}$ で $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$ を満たすものについて、その一意性は $\mathcal{R}_M^{\pm}$ の半収束性を示唆するのか？

主な発見

• 多分数 $\underline{a}$ に対する最大の鈍感 $i$-還元子は、すべての最大 $i$-還元子の最大公約数であり、$\gcd(a_i, a_{i+1})$ の倍数である。
• 最大の鈍感 $i$-還元子を繰り返し適用すると、鈍感-既約多分数が得られ、これ以上鈍感還元が適用できない場合、それは素数である。
• タイプ $\widetilde{A}_2$ のアービン＝ティッツモノイドにおいて、$\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\mathtt{1/c/aba}) = \mathtt{1/c/aba}$ である。これは非自明な鈍感還元が存在しないことを示している。
• タイプ $A_2$ において $\underline{a} = \mathtt{1/a/cabab}$ のとき、最大の鈍感 2-還元子は $ca$ であり、$\gcd(a, cabab) = 1$ よりも大きな倍数である。これは、入力の最大公約数を上回る可能性があることを示している。
• Conjecture A$_4$ が成り立つための必要十分条件は、アービン＝ティッツモノイドにおけるすべての単位的 4-多分数が自明または還元可能であることである。
• Conjecture A$_4$ と B$_4$ は同値であり、両者とも分数分解 $ab^{-1}$ で $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$ の一意性と同値である。