[論文レビュー] Multiple-Source Shortest Paths in Embedded Graphs

Sergio Cabello, Erin Wolf Chambers+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、 genus-g の曲面上に埋め込まれた有向重み付きグラフに対して、O(gn log n) 時間のランダム化された前処理アルゴリズムを提示する。これにより、指定された面の境界上の任意の頂点から他の任意の頂点への最短経路距離クエリを O(log n) 時間で行える。この手法は、Kinetic Data Structures と動的木を用いて Klein の平面的複数源最短経路アルゴリズムを高 genus 表面に一般化したものであり、O(g²n log²n) 時間で最短非可縮小および非分離サイクルの計算に応用可能である。

ABSTRACT

Let G be a directed graph with n vertices and non-negative weights in its directed edges, embedded on a surface of genus g, and let f be an arbitrary face of G. We describe a randomized algorithm to preprocess the graph in O(gn log n) time with high probability, so that the shortest-path distance from any vertex on the boundary of f to any other vertex in G can be retrieved in O(log n) time. Our result directly generalizes the O(n log n)-time algorithm of Klein [SODA 2005] for multiple-source shortest paths in planar graphs. Intuitively, our preprocessing algorithm maintains a shortest-path tree as its source point moves continuously around the boundary of f. As an application of our algorithm, we describe algorithms to compute a shortest non-contractible or non-separating cycle in embedded, undirected graphs in O(g^2 n log n) time with high probability. Our high-probability time bounds hold in the worst-case for generic edge weights, or with an additional O(log n) factor for arbitrary edge weights.

研究の動機と目的

• 平面グラフの Klein の O(n log n) 複数源最短経路アルゴリズムを genus g の曲面上に埋め込まれたグラフへ一般化すること。
• 指定された面の境界上の任意の頂点からグラフ内の任意の他の頂点への効率的な最短経路距離および経路クエリをサポートすること。
• 主な応用として、埋め込み無向グラフにおける最短非可縮小および非分離サイクルの計算を行うこと。
• ランダム化された摂動と動的データ構造を用いて、任意の辺重みに対して高い確率で処理すること。
• g = o(n) のとき、特に低 genus 表面において、全点対最短経路よりも改善された時間計算量を達成すること。

提案手法

• ソース頂点が指定された面 f の境界に連続的に移動する際、最短経路木を維持するため、Kinetic Data Structures のアプローチを用いる。
• 動的木（特に splay 木または link-cut 木）を用いて、プライマル最短経路木とその双対森を表現し、効率的なピボット操作を可能にする。
• 距離とスラックの比較における同値性を解消するための辞書式摂動スキームを採用し、一意な結果を得るとともに、LCA クエリを用いた効率的な比較を可能にする。
• 移動するソースパスに沿ったスラック値の変化を追跡することで、最短経路木にエッジがピボットして入る・出るという臨界イベントを特定する。
• 「緑色」の部分木の優先順位付きキューを用い、SMALLERLEXSLACK および SMALLERLEXDISTANCE 比較を用いて、O(log n) の amortized 時間で各操作の同値性を解消する。
• 全境界走査中に発生するピボット操作の総数は O(gn) で抑えられ、結果として高確率で全体の前処理時間は O(gn log n) となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフの複数源最短経路アルゴリズムは、より高 genus の曲面上に埋め込まれたグラフへ一般化可能か？
• RQ2 genus-g の曲面上で、ソースが面境界に沿って移動する際、最短経路木を維持するための漸近的計算量は何か？
• RQ3 動的データ構造は、高 genus グラフにおけるスパニングツリーの非双対性に対応してどのように適応可能か？
• RQ4 辺重みの摂動が、ソース移動中のピボット操作回数に与える影響は何か？
• RQ5 提案された前処理構造を用いて、最短非可縮小および非分離サイクルを効率的に計算可能か？

主な発見

• 前処理フェーズは高確率で O(gn log n) 時間で実行され、g = o(n) のとき、密なグラフでは O(n²) より顕著に改善される。
• 面の境界上の任意の頂点から他の任意の頂点への距離クエリは、暗黙のデータ構造を用いて O(log n) 時間で回答可能である。
• 最短経路の報告は O(log n + k log Δ) 時間で行える。ここで k は経路内の辺数、Δ は最大次数を表す。
• 任意の辺重みを許容する最短非分離サイクルは、最悪計算量で O(g²n log²n) 時間で計算可能である。
• 最短非可縮小サイクルは、b が境界成分数であるとして、O((g² + b)n log²n) 時間で計算可能である。
• 面境界の走査中に発生するピボット操作の回数は O(gn) で抑えられ、各ピボットは O(g log n) 時間で処理可能であり、O(g) 個の動的木が使用される。