[論文レビュー] Minimum Cycle Basis and All-Pairs Min Cut of a Planar Graph in Subquadratic Time

Christian Wulff‐Nilsen|ArXiv.org|Dec 7, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非負の辺重みをもつ平面グラフの最小サイクル基底（MCB）を計算する、$O(n^{3/2}"log n)$ 時間および $O(n^{3/2})$ 空間のアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、基底を暗黙的に表現することで、2次未塔の性能を達成する。主な貢献は、このアプローチにより、$C$ を基底内のサイクルの総サイズとするとき、$O(n^{3/2}"log n + C)$ 時間および $O(n^{3/2} + C)$ 空間で出力に依存する計算が可能になることである。さらに、平面グラフにおけるMCBとすべての頂点対最小カット問題（APMC）の双対性を活用し、すべての頂点対最小カット問題、重みベクトルの計算、Gomory-Hu木の構築を効率的に解くことが可能になる。

ABSTRACT

A minimum cycle basis of a weighted undirected graph $G$ is a basis of the cycle space of $G$ such that the total weight of the cycles in this basis is minimized. If $G$ is a planar graph with non-negative edge weights, such a basis can be found in $O(n^2)$ time and space, where $n$ is the size of $G$. We show that this is optimal if an explicit representation of the basis is required. We then present an $O(n^{3/2}\log n)$ time and $O(n^{3/2})$ space algorithm that computes a minimum cycle basis \emph{implicitly}. From this result, we obtain an output-sensitive algorithm that explicitly computes a minimum cycle basis in $O(n^{3/2}\log n + C)$ time and $O(n^{3/2} + C)$ space, where $C$ is the total size (number of edges and vertices) of the cycles in the basis. These bounds reduce to $O(n^{3/2}\log n)$ and $O(n^{3/2})$, respectively, when $G$ is unweighted. We get similar results for the all-pairs min cut problem since it is dual equivalent to the minimum cycle basis problem for planar graphs. We also obtain $O(n^{3/2}\log n)$ time and $O(n^{3/2})$ space algorithms for finding, respectively, the weight vector and a Gomory-Hu tree of $G$. The previous best time and space bound for these two problems was quadratic. From our Gomory-Hu tree algorithm, we obtain the following result: with $O(n^{3/2}\log n)$ time and $O(n^{3/2})$ space for preprocessing, the weight of a min cut between any two given vertices of $G$ can be reported in constant time. Previously, such an oracle required quadratic time and space for preprocessing. The oracle can also be extended to report the actual cut in time proportional to its size.

研究の動機と目的

• 平面グラフにおける非負の辺重みをもつ最小サイクル基底（MCB）を計算する2次未塔のアルゴリズムを開発すること。
• 基底を暗黙的に表現することで、出力に依存するMCB計算を達成し、その後、サイクル総サイズに比例する時間で明示的に構築すること。
• MCBアルゴリズムを拡張し、平面グラフにおけるすべての頂点対最小カット問題（APMCP）を、MCBとAPMCの双対性を活用して2次未塔時間で解くこと。
• 平面グラフの重みベクトルおよびGomory-Hu木を、$O(n^{3/2}"log n)$ 時間および $O(n^{3/2})$ 空間で計算することにより、従来の2次バウンドを改善すること。
• $O(n^{3/2}"log n)$ の前処理時間および $O(n^{3/2})$ の空間を要する平面グラフ用の最小カットオラクルを構築すること。

提案手法

• アルゴリズムは、平面グラフの構造的性質を活用して、問題サイズを再帰的に縮小する分割統治的手法を用いる。
• すべてのサイクルを明示的に格納するのを避けるために、基底をコンactな表現で保持することで、MCBを暗黙的に計算する。
• 平面グラフにおける最短経路計算に、$O("log n)$ 時間/更新で先行頂点を更新できる二分上り（binary lifting）および頂点インデックス比較を用いたlex最短経路木データ構造を用いる。
• $p_i[u]$ および $m_i[u]$ ポインタを有する階層的祖先データ構造を用い、$O(\log n)$ 時間でパス上の最低共通祖先および最小頂点インデックスクエリをサポートする。
• MCBは、最短経路木とサイクル空間基底抽出を組み合わせることで計算され、平面グラフにおけるMCBとすべての頂点対最小カットの双対性を活用する。
• Gomory-Hu木の構築において、暗黙のMCB表現を活用し、$O(n^{3/2}"log n)$ 時間で、すべての最小カット情報をコンパクトに符号化した木を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフの最小サイクル基底は、2次未塔時間および空間で計算可能か？
• RQ2 MCBを暗黙的に計算し、その後出力に依存する時間で明示的に構築することは可能か？
• RQ3 MCBの双対性を活用して、平面グラフにおけるすべての頂点対最小カット問題を2次未塔時間で解くことは可能か？
• RQ4 平面グラフの重みベクトルおよびGomory-Hu木は、$O(n^{3/2}"log n)$ 時間および $O(n^{3/2})$ 空間で計算可能か？
• RQ5 平面グラフ用の最小カットオラクルは、2次未塔の前処理時間および空間で構築可能か？

主な発見

• 本稿では、平面グラフのMCBを明示的に出力するあらゆるアルゴリズムに $\Omega(n^2)$ 時間が必要であることを証明しており、従来の $O(n^2)$ バウンドが明示的表現では最適であることを示している。
• 暗黙のMCB計算は、$O(n^{3/2}"log n)$ 時間および $O(n^{3/2})$ 空間で達成され、これは2次未塔であり、暗黙的出力の下では最適である。
• 出力に依存するアルゴリズムにより、明示的なMCBが $O(n^{3/2}"log n + C)$ 時間および $O(n^{3/2} + C)$ 空間で計算可能である。ここで $C$ は基底内のサイクルの総サイズである。
• 重みなし平面グラフでは、バウンドが $O(n^{3/2}"log n)$ 時間および $O(n^{3/2})$ 空間に簡略化され、暗黙的および明示的MCB計算の両方で成立する。
• 本アルゴリズムにより、平面グラフのGomory-Hu木および重みベクトルが、$O(n^{3/2}"log n)$ 時間および $O(n^{3/2})$ 空間で構築可能となり、従来の $O(n^2)$ バウンドを改善する。
• 最小カットオラクルは、$O(n^{3/2}"log n)$ の前処理時間および $O(n^{3/2})$ の空間を用いて構築され、最小カット重みのクエリを定数時間でサポートし、サイズ $k$ の実際のカットを $O(k)$ 時間で報告する。