[論文レビュー] Multiplicities Associated to Graded Families of Ideals

Steven Dale Cutkosky|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、完備化が分岐していない等特徴的局域環で、完全な残渣体をもつ場合に、階数付きファミリーのイデアルに関連する多重度の極限の存在を、Okounkov体の技法を用いて確立する。体積 = 多重度の公式を証明し、epsilons多重度が極限として存在することを確認し、多重度に関する漸近的加法性公式を導出し、局所環における評価値の成長に関する問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that limits of multiplicities associated to graded families of ideals exist under very general conditions. Most of our results hold for analytically unramified equicharacteristic local rings, with perfect residue fields. We give a number of applications, including a "volume = multiplicity" formula, generalizing the formula of Lazarsfeld and Mustata, and a proof that the epsilon multiplicity of Ulrich and Validashti exists as a limit for ideals in rather general rings, including analytic local domains. We also prove an asymptotic "additivity formula" for limits of multiplicities, and a formula on limiting growth of valuations, which answers a question posed by the author, Kia Dalili and Olga Kashcheyeva. Our proofs are inspired by a philosophy of Okounkov, for computing limits of multiplicities as the volume of a slice of an appropriate cone generated by a semigroup determined by an appropriate filtration on a family of algebraic objects.

研究の動機と目的

• 広範な代数的条件下で、階数付きイデアルファミリーにおける多重度の極限の存在を確立すること。
• LazarsfeldとMustataの体積 = 多重度の公式を、より広いクラスの局所環へ一般化すること。
• UlrichとValidashtiのepsilons多重度が、一般の解析的局所環において極限として存在することを証明すること。
• Cutkosky、Dalili、Kashcheyevaが提起した評価値半群の極限的成長に関する問題を解決すること。
• 階数付きイデアルファミリーにおける多重度に関する漸近的加法性公式を確立すること。

提案手法

• Okounkov体の哲学を用いて、フィルトレーションから生成される半群の錐の断片の体積として、多重度の極限を解釈する。
• 問題を完全な整域に還元し、環を支配するランク1、有理数ランクdの評価値を構成する。
• 優れた性質を仮定せず、有界性を扱うためにReesのIzumiの定理の版を適用する。
• 階数付き線形系統ファミリーに関連するZ^{d+1}内の半群を用いて、多重度の成長をモデル化する。
• 基底変換と残渣体の制御を用いて、零因子が導入されないよう保証するため、完全な残渣体を要請する。
• 局所コホホロジーとHilbert–Samuel多重度理論からの加法性公式を適用し、漸近的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備化が分岐していない等特徴的局所環で、完全な残渣体をもつ場合、m_R-主なイデアルの階数付きファミリーについて、正規化された長さ ℓ(R/I_n)/n^d の極限 lim_{n→∞} が存在するか？
• RQ2 体積 = 多重度の公式は、代数的に閉じた残渣体や優れた環の範囲を超えて一般化可能か？
• RQ3 一般の解析的局所環において、イデアルのepsilons多重度が極限として存在するか？
• RQ4 評価値半群 φ(n) = |S^R(ω) ∩ (0,n)| の値の数の極限的成長は、n^dに漸近的に比例するか？
• RQ5 階数付きイデアルファミリーのHilbert–Samuel多重度について、漸近的加法性公式を証明できるか？

主な発見

• 完備化が分岐していない等特徴的局所環で、完全な残渣体をもつ任意の階数付きm_R-主なイデアルファミリーについて、lim_{n→∞} ℓ(R/I_n)/n^d の極限が存在する。
• 階数付きイデアルファミリーの体積は、その多重度の極限に等しく、Lazarsfeld–Mustataの公式がより広いクラスの環へ一般化される。
• UlrichとValidashtiのepsilons多重度は、任意の完備化が分岐していない局所整域（正則環や優れた環を含む）において極限として存在する。
• 漸近的加法性公式が証明された：e_s(m_R, R/I_n)/n^{d−s} の極限は、A(I_*)の素イデアル q に関する和に等しく、各項は e((I_k)_q)/k^{d−s} の極限と e(m_R/q) の積である。
• 評価値半群の値の数 φ(n) = |S^R(ω) ∩ (0,n)| について、lim_{n→∞} φ(n)/n^d の極限が存在し、局所環における評価値の成長に関する問いに答えを提示する。
• 正則または完備化が分岐していない局所整域で、代数的に閉じた残渣体をもつ0次元のランク1評価値ωについて、lim_{n→∞} φ(n)/n^d の極限が存在し、正である。