[論文レビュー] Multiplicity and uniform estimate for a class of variable order fractional $p(x)$-Laplacian problems with concave-convex nonlinearities

Reshmi Biswas, Sweta Tiwari|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、凹凸非線形性および非局所的チョクール型項を有する可変順位分数マーチャンツ・p(x)・ラプラシアン問題に対する解の存在および多重性を確立する。可変指数のハーディー＝ソボレフ＝リトルウッド不等式を構築し、変分法を応用することで、指数および非線形性に関する適切な条件下で、少なくとも2つの非自明な弱解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this article, we study the existence/multiplicity results for the following variable order nonlocal Choquard problem with variable exponents \begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)}u(x)&=λ|u(x)|^{α(x)-2}u(x)+\left(\DD\int_Ω\frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{μ(x,y)}}dy ight)f(x,u(x)),\\ &~\hspace{6cm} x\in Ω, \\ u(x)&=0 ,\hspace{20mm} x\in Ω^c:=\mathbb R^N\setminusΩ, \end{array} \end{equation*} where $\Om\subset\mathbb R^N$ is a smooth and bounded domain, $N\geq 2$, $p,s,μ$ and $α$ are continuous functions on $\mathbb R^N imes\mathbb R^N$ and $f(x,t)$ is continuous function with $F(x,t):=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x,s)ds$. Under suitable assumption on $s,p,μ,α$ and $f(x,t)$, first we study the analogous Hardy-Sobolev-Littlewood-type result for variable exponents suitable for the fractional Sobolev space with variable order and variable exponents. Then we give the existence/multiplicity results for the above equation.

研究の動機と目的

• 可変順位分数マーチャンツ・p(x)・ラプラシアン方程式に含まれる凹凸非線形性に対する弱解の存在および多重性を調査すること。
• 分数ソボレフ空間に適した、可変順位および可変指数のハーディー＝ソボレフ＝リトルウッド不等式の拡張を確立すること。
• 可変指数 $p(x), s(x), \mu(x,y)$ および非線形性 $f(x,u)$ の相乗作用が解の多重性に与える影響を分析すること。
• 非局所的問題および非標準的成長条件を有する可変順位作用素に変分法を拡張すること。
• 少なくとも2つの非自明な弱解の存在を保証する関数 $p, s, \mu, \alpha$ および $f$ に対する十分条件を提示すること。

提案手法

• 可変指数および可変順位分数作用素に適した一般化されたハーディー＝ソボレフ＝リトルウッド型不等式を導出すること。
• 適切な可変指数分数ソボレフ空間内において、非局所的チョクール型方程式に関連するエネルギー汎関数を定義すること。
• マウンテンパス定理およびエケランの変分原理を用いて、少なくとも1つの非自明な弱解の存在を証明すること。
• ネハリ多様体法を用いてエネルギー汎関数の構造を分析し、複数の解の存在を証明すること。
• コンパクト性の議論および可変指数空間におけるソボレフ埋め込みを用いて、パライス＝スモール条件を保証すること。
• 臨界点理論を適用可能とするために、非線形性が必要な成長および連続性条件を満たしていることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変順位 $p(x), s(x), \mu(x,y), \alpha(x)$ および $f(x,u)$ がどのような条件下で、非局所的チョクール項を有する可変順位 $p(x)$-ラプラシアン問題が少なくとも1つの弱解をもつのか。
• RQ2 適切な構造的仮定の下で、このクラスの可変指数および可変順位問題に対して複数の弱解が保証されるか。
• RQ3 ハーディー＝ソボレフ＝リトルウッド不等式は、可変順位および可変指数分数積分の設定にどのように拡張できるか。
• RQ4 可変指数および非局所積分項が関連エネルギー汎関数のコンパクト性および幾何的性質に果たす役割は何か。
• RQ5 凹凸非線形性は、この非局所的・非標準的成長枠組みにおいて解の多重性にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 関連する分数ソボレフ空間フレームワーク内での解析を可能にする、新しい可変順位および可変指数のハーディー＝ソボレフ＝リトルウッド不等式が確立された。
• 適切な成長および強制力条件の下で、マウンテンパス定理を用いて、少なくとも1つの非自明な弱解の存在が証明された。
• ネハリ多様体法およびエネルギー汎関数の幾何的性質を用いて、少なくとも2つの非自明な弱解の存在が確立された。
• 導出された不等式の下で、非局所的チョクール型項が可変指数分数ソボレフ空間内で適切に定義され、連続であることが示された。
• 問題に関連する汎関数は、指定された空間でパライス＝スモール条件を満たしており、パライス＝スモール系列の収束を保証する。
• 結果は、$N \geq 2$ および可変指数の連続性および有界性の仮定の下で、滑らかで有界な領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ に対して有効である。