[論文レビュー] Multiscale nonconvex relaxation and application to thin films

Jean‐François Babadjian, Margarida Baı́a|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、周期的微細構造を有する異種な弾性材料のスケール ε および ε² における多スケール非凸緩和枠組みを、Γ収束を用いて開発する。再帰的均質化と次元削減を組み合わせることで、薄板の均質化極限を確立し、マクロな変数における一様連続性を仮定しないでエネルギー汎関数のΓ収束を証明する。これにより、最小限の正則性仮定のもとで非凸かつ多スケールの設定に既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

$Γ$-convergence techniques are used to give a characterization of the behavior of a family of heterogeneous multiple scale integral functionals. Periodicity, standard growth conditions and nonconvexity are assumed whereas a stronger uniform continuity with respect to the macroscopic variable, normally required in the existing literature, is avoided. An application to dimension reduction problems in reiterated homogenization of thin films is presented.

研究の動機と目的

• 異種弾性材料における複数スケール ε および ε² の積分汎関数のΓ極限を特徴づけること。
• 厚さが ε に比例する周期的微細構造を有する薄板における次元削減を分析すること。
• マクロな変数における一様連続性を仮定しない非凸エネルギー密度へ再帰的均質化を拡張すること。
• エネルギー密度の正則性仮定を最小限に抑えた状態で、薄板モデルの厳密な変分極限を確立すること。
• Γ収束技術を用いて、均質化と次元削減を一つの枠組みに統合すること。

提案手法

• 周期的微細構造を有するエネルギー汎関数の漸近的挙動を、Γ収束を用いて分析する。
• 非凸的かつ非正則な被積分関数を取り扱うために、多スケール収束および等積分性の議論を適用する。
• 2段階の均質化プロセスを採用：まずスケール ε で均質化し、次にスケール ε² で均質化する。インフィミウム合成技術を用いる。
• 極限領域における周期的テスト関数の下でのインフィミウムを用いて、有効エネルギー密度の新しい緩和公式を導入する。
• 回復列の構成と等積分性によるコンパクトネスの利用を通じて、エネルギー列のΓ収束を確立する。
• 領域を2次元の基底にεの厚さで制限することで、薄板に理論を適用し、均質化と次元削減を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的かつ多スケールの周期的微細構造を有する材料の有効エネルギーを、Γ収束を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 マクロな変数における一様連続性を仮定しない非凸被積分関数へ再帰的均質化を拡張できるか？
• RQ3 スケール ε および ε² における周期的微細構造を有する薄板におけるエネルギー汎関数のΓ極限は何か？
• RQ4 均質化と次元削減の組み合わせは、薄板状の弾性材料における有効エネルギーにどのように影響を与えるか？
• RQ5 被積分関数に強い正則性仮定がない状況で、エネルギー列のΓ収束を保証する条件は何か？

主な発見

• エネルギー汎関数のΓ極限は、マクロな変数における一様連続性を仮定しない条件下でも、まずスケール ε で、次にスケール ε² で二重均質化を行うプロセスとして特徴づけられる。
• 厚さが ε である薄板に対して、Γ極限は 2∫ω W_hom^hom(xα, ∇αu) dxα で与えられる2次元エネルギー汎関数である。ここで、W_hom^hom は周期的テスト関数の下でのインフィミウム合成により導かれる有効エネルギー密度である。
• 有効エネルギー密度 W_hom^hom(xα, ξ) は、周期的領域におけるインフィミウムの極限として表される：limT→∞ infφ {1/(2T²) ∫(0,T)²×I W_hom(xα,y₃,yα; ξ + ∇αφ|∇₃φ) dy }。
• 均質化エネルギー W_hom(x,yα;ξ) は細胞問題の極限として定義される：limT→∞ infφ {1/T³ ∫(0,T)³ W(x,yα,z₃; ξ + ∇φ) dz } であり、W₀¹ᵖ 細胞の上をとる。
• エネルギー列 Wε から均質化汎関数 W_hom へのΓ収束は、部分列の選択に依存しない Lᵖ(Ω) 位相で成立する。
• エネルギー密度が非凸的でマクロな変数における一様連続性を欠いても、標準的な p-成長および強制的条件のもとで結果は成立する。