[論文レビュー] Multisymplectic formalism and the covariant phase

Frédéric Hélein|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、古典場理論における多シンプレクティック形式と共変位相空間アプローチの間のきめ細かな幾何学的関係を確立し、それらの等価性を示し、線形場理論における明示的な共変性を保つ正準量子化を可能にする。共変位相空間上の前量子化が自然に生成・消滅演算子を導き、メタプレクティック補正を省いた場合、正規順序付けを要せずして真空エネルギーが消えることを示している。

ABSTRACT

The formulation of a relativistic dynamical problem as a system of Hamilton equations by respecting the principles of Relativity is a delicate task, because in their classical form the Hamilton equations require the use of a time coordinate, which of course contradicts the Relativity. Two interesting solutions have been proposed during the last century: the covariant phase space and the multisymplectic formalism. These two approaches were inspired at the beginning by different points of view. However, as shown by works by Kijowski-Szczyrba, Forger-Romero and Vitagliano, a synthetic vision of the two theories leads probably to the most satisfactory answer to the basic question of understanding the Hamiltonian structure of relativistic fields theory.

研究の動機と目的

• ローレンツ不変性を尊重する正準量子化のための、数学的に厳密な基礎を確立すること。
• 多シンプレクティック形式と場理論における共変位相空間構成との間の等価性を示すこと。
• 多シンプレクティック幾何を用いた自由場の幾何学的量子化スキームを構築し、明示的な共変性を保証すること。
• メタプレクティック補正を省いた場合、正規順序付けを要せずして、この枠組みにおいて真空エネルギーが自然に消える理由を示すこと。

提案手法

• 本稿は、場の配置のジャンプ延長空間に多シンプレクティック構造を導入することで場理論を定式化し、時空へのシンプレクティック力学の一般化を実現する。
• Euler–Lagrange方程式の解の空間にプレシンプレクティック形式を定義し、共変位相空間に自然なシンプレクティック構造を導入する。
• 前量子化は、位相空間上のベクトル場をライン bundle 上の微分作用素へと上げる操作であり、シンプレクティック形式を用いて量子演算子を定義する。
• 位相空間上の複素構造に関連する前量子演算子を用いて、生成・消滅演算子を構成する。
• 偏極条件を課して共変的に正則的でないセクションを選択し、量子ヒルベルト空間をフォック型の形に簡約する。
• エネルギーと運動量の量子演算子を生成するために、キリングベクトル場とシンプレクティック形式の縮約を用いてストレステンソルの前量子化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多シンプレクティック形式を用いて、古典場理論の明示的な共変性を保つ正準量子化をどのように構成できるか？
• RQ2 多シンプレクティック形式と共変位相空間構成との間の正確な幾何学的関係は何か？
• RQ3 場の方程式の解の空間上で、恣意的な補正を要せずして標準的な量子場理論演算子を導く前量子化スキームを定義できるか？
• RQ4 なぜこの枠組みにおいて正規順序付けを要せずして真空エネルギーが消えるのか？また、メタプレクティック補正はこの文脈で果たす役割は何か？
• RQ5 偏極の選択が、量子ヒルベルト空間の構造と量子観測値の形にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 多シンプレクティック形式と共変位相空間は、同じ基本的変分原理から生じる幾何学的に等価である。
• 共変位相空間上の前量子化は、標準的なフォック空間構成と一致する生成・消滅演算子の量子演算子を導く。
• 偏極条件によって定義される真空状態は $\widehat{P}|0\rangle = 0$ を満たし、正規順序付けを要せずしてゼロの真空エネルギーを示す。
• 正規順序付けの必要がないのは、メタプレクティック補正を省いたことによるものであり、もしその補正があれば無限大の真空エネルギーが生じる。
• ストレステンソルの前量子化はキリングベクトル場とシンプレクティック形式の縮約を用いて達成され、与えられたフレームにおける全エネルギーを正しく再現する量子演算子が得られる。
• 量子交換関係 $[\widehat{a}_f, \widehat{a}_g^*]$ は、標準的な正準交換関係 $\hbar \int \frac{d\vec{k}}{2k^0} f(k)g(k)$ を再現する。