[論文レビュー] n-Dimensional global correspondences of Langlands over singular schemes (II)

Christian Pierre|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、n次元グローバルラングランズ対応を特異的スキームへ拡張し、微分可能（双）関数の層の文脈において、普遍変形、吹き上げ、モノドロミー変換を用いて特異点を分析することで実現する。トロイダルコンパクト化と特異点の解消を通じて、正則形式とカスプ形式をスペクトル対応によって結びつけることで、複素および実設定における非可約カスプ表現を確立する。

ABSTRACT

A rather complete phenomenology of the singularities is developed according to a new algebraic point of view in the frame of Langlands global correspondences. That is to say,a process of: -singularizations and versal deformations of these, -singularizations and monodromies of these, is envisaged on all the sections of sheaves of differentiable (bi)functions on (bi)linear algebraic (semi)groups constituting the n-dimensional representations of the global Weil groups. To get the searched holomorphic and cuspidal representations,it is necessary to consider: -the resolutions of the singularities and the blowups of the versal deformations; -the resolutions of the singularities in the monodromy cases. Furthermore, the geometry of the versal deformations and of their blowups is studied, as well as the associated dynamics leading to the consideration of singular hyperbolic attractors and of singular strange attractors.

研究の動機と目的

• 特異的スキーム上のn次元グローバルラングランズ対応における特異点の現象論的記述の構築。
• 双線形代数的半群上の微分可能（双）関数の層が特異点、変形、吹き上げを示す場合に、ラングランズ対応を拡張すること。
• 特異点の解消とグローバル・ウェイリーグループ表現の文脈におけるモノドロミーの分析を通じて、正則およびカスプ表現の構成。
• 普遍変形の幾何とそれらの吹き上げを研究し、関連する力学系における特異的双曲型および奇妙なアトラクターの同定。

提案手法

• 特異的スキーム上でのグローバル・ウェイリーグループのn次元表現における微分可能（双）関数の層の特異化および普遍変形の分析。
• ガロア反自己同型とスパイラル・アウト同型を用いて、特異点の解消および普遍変形の吹き上げの適用。
• 拡張フェーズにおけるモノドロミー変換の研究により、特異的スキームから非特異的ファイバーを生成。
• GL₂(F_T^ω × F_T^ω) のトロイダルコンパクト化を用いて、モノドロミー双層層からカスプ表現を構成。
• アーベル化されたウェイリーグループの非可約表現とカスプ形式との間の同型を介して、非可約ラングランズ対応の確立。
• スペクトル写像 τ^tor_ℂ を用いて、双層の正則切断をイーゼンスタイン級数 EIS_R×L(1,j,m_j) 及びそのモノドロミックな類似物と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点とその変形の分析を通じて、グローバルラングランズ対応を特異的スキームへどのように拡張できるか。
• RQ2 普遍変形の吹き上げが、特異点の存在下で正則およびカスプ表現を回復するために果たす役割は何か。
• RQ3 特異的スキーム上でのモノドロミー変換が非特異的ファイバーを生成する仕組みと、カスプ形式との関係は何か。
• RQ4 普遍変形およびそれらの吹き上げから生じる特異的双曲型および奇妙なアトラクターの幾何的および力学的意義は何か。
• RQ5 双線形代数的半群のトロイダルコンパクト化が、ラングランズ枠組みにおいて非可約カスプ表現をどのように導くか。

主な発見

• 非可約カスプ表現 Irr_cusp(θ^ℂ_tor) は、トロイダルスペクトル写像 τ^tor_ℂ を介してイーゼンスタイン級数 EIS_R×L(1,j,m_j) に同型であることが確立された。
• モノドロミー双層層 θ^ℂ_mon は、基本双層層との同型を介して、カスプ表現 EIS^mon_R×L(1,j,m_j)_b を生じる。
• 特異点の解消および普遍変形の吹き上げにより、正則およびカスプ構造が回復され、特異的スキーム上でのラングランズ対応が可能になる。
• 普遍変形の幾何とそれらの吹き上げは、関連する力学系に特異的双曲型および奇妙なアトラクターの出現をもたらす。
• この対応は複素および実設定の両方で成立する：θ^ℂ_GL₂(F_ω×F_ω) および θ^ℝ_GL₂(F^+_v×F^+_v) は、τ^tor_ℂ を介して非可約カスプ形式を生成する。
• スペクトル写像 τ^tor_ℂ は、正則切断 f_ω(z_m)⊗f_ω(z_m^*) をイーゼンスタイン級数に変換し、コンパクト化された設定におけるラングランズ対応の妥当性を確認した。