[論文レビュー] Narrow quantum D-modules and quantum Serre duality

Mark Shoemaker|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非コンパクト多様体やオルビフォールドにおける狭義コホモロジーを導入し、非コンパクト性にもかかわらず、非退化なペアリングを有するコホモロジーの部分空間を提供する。この狭義コホモロジー上に量子Dモジュールを構成し、量子接続とペアリングを含む量子Dモジュールの同型として、量子セール双対性の新しい定式化を可能にした。これにより、非コンパクトな対象に対するグロモフ＝ウィトテン理論における長年の問題が解決された。

ABSTRACT

Given Y a non-compact manifold or orbifold, we define a natural subspace of the cohomology of Y called the narrow cohomology. We show that despite Y being non-compact, there is a well-defined and non-degenerate pairing on this subspace. The narrow cohomology proves useful for the study of genus zero Gromov-Witten theory. When Y is a smooth complex variety or Deligne-Mumford stack, one can define a quantum D-module on the narrow cohomology of Y. This yields a new formulation of quantum Serre duality.

研究の動機と目的

• 標準的なペアリングが失敗する非コンパクト多様体やオルビフォールド上に、良好に定義されたコホモロジー部分空間（狭義コホモロジー）を定義すること。
• この狭義コホモロジー上に量子Dモジュールを構成し、量子接続が部分空間を保存し、ペアリングが非退化のままであることを保証すること。
• 量子セール双対性を、核上の写像ではなく、量子接続とペアリングを含む量子Dモジュールの同型として再定式化すること。
• 従来の量子セール双対性の定式化が、ベクター束の全空間などの非コンパクトな対象においてペアリングを保存しなかったという問題を解決すること。

提案手法

• コンパクト台付きコホモロジーから通常のコホモロジーへの忘却写像の像として狭義コホモロジーを定義する：$ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) = \text{im}( \theta: H^{*}_{\text{c}}(\tilde{Y}) \to H^{*}(\tilde{Y}) ) $。
• コンパクト台付きコホモロジー $ H^{*}_{\text{c}}(\tilde{Y}) $ と通常コホモロジー $ H^{*}(\tilde{Y}) $ 間のポアンカレ双対性ペアリングを用いて、$ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 上に非退化ペアリングを誘導する。
• 量子接続 $ \nabla^{\tilde{Y}} $ が狭義部分空間 $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ を保存することを示し、これにより量子Dモジュール構造がその上に適切に定義されることを保証する。
• 量子接続に関して平坦な、制限されたペアリング $ S^{\tilde{Y},\text{nar}} $ を狭義量子Dモジュール上に定義する。
• 変数変換の後、写像 $ \pi^{*} \circ j_{*} $ が $ \mathcal{Z} $ の狭義量子Dモジュールと $ \tilde{Y} $ の狭義量子Dモジュールの間で量子Dモジュールの同型を誘導することを証明する。
• 関手 $ (-1)^{\text{rk}(\mathcal{E})} \text{det}(\mathcal{E}) \otimes (\pi^{*} \circ j_{*})(-) $ を用いて、積分構造との整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なポアンカレペアリングが失敗する非コンパクトな対象 $ \tilde{Y} $ に対しても、良好に定義された量子Dモジュールを構成できるか？
• RQ2 量子セール双対性を、核上の写像から、接続とペアリングを含む量子Dモジュールの同型へと高めることは可能か？
• RQ3 非コンパクトな $ \tilde{Y} $ 上に、非退化ペアリングを有し、かつ量子接続によって保存される自然なコホモロジー部分空間が存在するか？
• RQ4 狭義コホモロジーは、$ \nabla^{\tilde{Y}} $ の核における $ \pi^{*} \circ j_{*} $ の像とどのように関係するか？

主な発見

• 狭義コホモロジー $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ は、忘却写像 $ \theta: H^{*}_{\text{c}}(\tilde{Y}) \to H^{*}(\tilde{Y}) $ の像として定義され、良い双対性性質を持つ有限次元部分空間を提供する。
• $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 上に誘導されたペアリングは非退化であり、非コンパクト空間における通常コホモロジーの退化問題を解消する。
• 量子接続 $ \nabla^{\tilde{Y}} $ は狭義部分空間を保存するため、量子Dモジュール構造が $ H^{*}_{\text{nar}}(\tilde{Y}) $ 上に正しく制限される。
• 狭義量子Dモジュール上に良好に定義され、平坦なペアリング $ S^{\tilde{Y},\text{nar}} $ が存在し、これにより完全な量子Dモジュールが得られる。
• $ \pi^{*} \circ j_{*} $ が変数変換の後、$ \mathcal{Z} $ と $ \tilde{Y} $ の狭義量子Dモジュールの間で量子Dモジュールの同型を誘導する。これにより、量子セール双対性がDモジュールの同型として実現される。
• この構成は積分構造と整合的であり、関手 $ (-1)^{\text{rk}(\mathcal{E})} \text{det}(\mathcal{E}) \otimes (\pi^{*} \circ j_{*})(-) $ を用いて、イリタニの積分構造を非コンパクト設定へと拡張する。