[論文レビュー] Stable Spin Maps, Gromov-Witten Invariants, and Quantum Cohomology

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura+1 more|Dec 20, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多様体 V への安定写像と、元となる曲線上の r-スピン構造を組み合わせた新しいモジュライ空間「安定 r-スピン写像」を導入し、それがデリーニュ＝ムーディスタックをなすことを証明する。このモジュライ空間に仮想基本類を定義し、その結果として Gromov-Witten の CohFT と r-スピン CohFT のテンソル積に同型なコホロロジー場の理論（CohFT）が得られ、r-スピン量子コホモロジーが定義される。この量子コホモロジーのフォーブニウス多様体構造は、V の量子コホモロジーと A_{r-1} 奇性のフォーブニウス多様体のテンソル積に同型である。

ABSTRACT

We introduce the stack of r-spin maps. These are stable maps into a variety V from n-pointed algebraic curves of genus g, with the additional data of an r-spin structure on the curve. We prove that this stack is a Deligne-Mumford stack, and we define analogs of the Gromov-Witten classes associated to these spaces. We show that these classes yield a cohomological field theory (CohFT) that is the tensor product of the CohFT associated to the usual Gromov-Witten invariants of V and the r-spin CohFT. When r=2, our construction gives the usual Gromov-Witten invariants of V. Restricting to genus zero, we obtain the notion of an r-spin quantum cohomology of V, whose Frobenius structure is isomorphic to the tensor product of the Frobenius manifolds corresponding to the quantum cohomology of V and the r-th Gelfand-Dickey hierarchy (or, equivalently, the A_{r-1} singularity). We also prove a generalization of the descent property which, in particular, explains the appearance of the psi-classes in the definition of gravitational descendants. Finally, we compute the small phase space potential function when r=3 and V=CP^1.

研究の動機と目的

• 射影的多様体 V への安定 r-スピン写像のモジュライ空間を構成し、安定写像と r-スピン曲線を一般化する。
• このモジュライ空間に仮想基本類を定義し、それがデリーニュ＝ムーディスタックであり、CohFT を持ちうることを保証する。
• 得られる CohFT が、V の Gromov-Witten CohFT と r-スピン CohFT のテンソル積に同型であることを示す。
• V の r-スピン量子コホモロジーを、V の量子コホモロジーと A_{r-1} 奇性のフォーブニウス多様体のテンソル積に同型なフォーブニウス多様体として確立する。
• r=3 および V=ℙ¹ の場合に、小位相空間の生成関数を計算し、相関関数の明示的再帰関係を導出する。

提案手法

• 安定 r-スピン写像のスタック $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ を、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(V)$ の分岐被覆として構成し、r-スピン構造と V への安定写像をパラメトライズする。
• Gromov-Witten 理論における仮想基本類に類似する、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 上の仮想クラス $\tilde{c}^{1/r}$ を定義する。
• 評価写像によるプッシュフォワードが、V からのコホモロジー類のプルバックを通じて CohFT を与えることを証明する。
• CohFT のテンソル積の性質を用いて、得られる理論が V の Gromov-Witten CohFT と r-スピン CohFT の積に同型であることを示す。
• WDVV 方程式と除数公理を用いて、特に genus 1 およびそれ以上の genus の場合に相関関数の再帰関係を導出する。
• $r=3$ および $V=\mathbb{P}^1$ の場合に、小位相空間の生成関数を計算し、$\beta=1$ および $\beta\geq2$ の相関関数に対する明示的再帰式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元となる曲線上に r-スピン構造を組み込んだ、多様体 V への安定写像のモジュライ空間をどのように構成できるか？
• RQ2 この新しいモジュライ空間上の仮想基本類は何か？ そして、それが well-defined な CohFT を与えるか？
• RQ3 得られる CohFT が、V の Gromov-Witten CohFT と r-スピン CohFT のテンソル積に同型であるか？
• RQ4 V の r-スピン量子コホモロジーの構造は何か？ そして、既知のフォーブニウス多様体とどのように関係するか？
• RQ5 特に $r=3$ および $V=\mathbb{P}^1$ の場合に、相関関数の明示的再帰関係を導出できるか？

主な発見

• モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ はデリーニュ＝ムーディスタックであり、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(V)$ の分岐被覆であり、安定写像と r-スピン曲線を一般化する。
• 仮想クラス $\tilde{c}^{1/r}$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}(V)$ 上に CohFT を定義し、それは V の Gromov-Witten CohFT と r-スピン CohFT のテンソル積に同型である。
• genus 0 の場合、V の r-スピン量子コホモロジーは、V の量子コホモロジーと $A_{r-1}$ 奇性のフォーブニウス多様体のテンソル積に同型である。
• $r=3$ および $V=\mathbb{P}^1$ の場合、小位相空間の生成関数が計算され、$n\geq3$ のすべての n-点相関関数について明示的再帰関係が得られた。$\beta=1$ および $\beta\geq2$ の場合を含む。
• $\beta=1$ の場合、相関関数は $\langle\tau_{0,1}^{n_1}\tau_{1,1}^{2n_1+1}\rangle_1 = \frac{n_1!}{3^{n_1}}\langle\tau_{1,0}^2\tau_{1,1}\rangle_1$ を満たし、$\langle\tau_{1,0}^2\tau_{1,1}\rangle_1 = 1$ である。これにより $\beta=1$ セクタ―が完全に決定される。
• $\beta\geq2$ の場合、$\beta'$, $\beta''$, $n_1'$, $n_1''$ を含む複雑な再帰関係が、不安定領域におけるすべての n-点相関関数を完全に決定する。1点および2点相関関数で非ゼロとなるのは $\langle\tau_{1,1}\rangle_1 = \langle\tau_{1,0}\tau_{1,1}\rangle_1 = 1$ のみである。