[論文レビュー] Nash embedding, shape operator and Navier-Stokes equation on a Riemannian manifold

Shizan Fang|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ナッシュ埋め込みと形状作用素理論を用いて、コンpactなリーマン多様体上のナビエ＝ストークス方程式におけるラプラシアンの選択を検討する。多様体を等長的にユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ に埋め込むことで、de Rham-Hodge ラプラシアンを用いたナビエ＝ストークス方程式の確率的表現公式を導出し、それが確率解析および幾何学的流体動力学における自然な役割を果たすことを確立する。

ABSTRACT

What is the suitable Laplace operator on vector fields for the Navier-Stokes equation on a Riemannian manifold? In this note, by considering Nash embedding, we will try to elucidate different aspects of different Laplace operators such as de Rham-Hodge Laplacian as well as Ebin-Marsden's Laplacian. A probabilistic representation formula for Navier-Stokes equations on a general compact Riemannian manifold is obtained when de Rham-Hodge Laplacian is involved. MSC 2010: 35Q30, 58J65

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上でのナビエ＝ストークス方程式に対して、特に de Rham-Hodge ラプラシアンと Ebin-Marsden ラプラシアンを含む、さまざまなラプラシアンの幾何学的および解析的適切性を明確化すること。
• 曲がった幾何学における確率的流れおよび変分原理から de Rham-Hodge ラプラシアンが自然に生じるかどうかを調査すること。
• 一般のコンパクトなリーマン多様体上でのナビエ＝ストークス方程式に対して、de Rham-Hodge ラプラシアンを用いた確率的表現公式を確立すること。
• 変形テンソルに基づく Ebin-Marsden ラプラシアンと de Rham-Hodge ラプラシアンを、幾何学的不変性および物理的関連性の観点から比較すること。
• キリングベクトル場および曲率（リッチテンソル）が、Ebin-Marsden ラプラシアンが発散なしベクトル場の空間を保存するかどうかを決定する役割を果たすかを検討すること。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体 $M$ を高次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ に等長的に埋め込むナッシュ埋め込みを用いる。
• Lie 微分の二乗和がラプラス＝ベルトラミー作用素に等しくなるような、多様体 $M$ 上のベクトル場の族 $\{A_1, \dots, A_N\}$ を構成する：$\Delta = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2$。
• 形状作用素および第二基本形式を用いて、$M$ の内面的幾何と $\mathbb{R}^N$ における外向き幾何の関係を関係づける。
• 確率的恒等式 $-\square B = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2 B + 2\mathcal{T}_1(B)$ を用いて、de Rham-Hodge ラプラシアンを介したナビエ＝ストークス方程式の確率的表現を導出する。
• 密度過程 $\rho_t$ に関連する確率的流れに伊藤微積分を適用し、$\rho_t$ に対する確率的偏微分方程式（SPDE）を導出する。
• Lie 微分の随伴 $\mathcal{L}_{u_t}^*$ と解の一意性を用いて、確率的解が古典的解と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上でのナビエ＝ストークス方程式に対して、de Rham-Hodge ラプラシアンと Ebin-Marsden ラプラシアンのどちらが幾何学的および物理的に自然であるか。
• RQ2 一般のコンパクトなリーマン多様体上でのナビエ＝ストークス方程式に対して、de Rham-Hodge ラプラシアンを用いて確率的表現公式を導出できるか。
• RQ3 多様体の曲率、特にリッチテンソルが、Ebin-Marsden ラプラシアンが発散なし条件と整合するかに与える影響は何か。
• RQ4 どのような幾何学的条件下で Ebin-Marsden ラプラシアンは発散なしベクトル場の空間を保存するか。
• RQ5 形状作用素およびナッシュ埋め込みが、多様体上でのベクトル場の Lie 微分にラプラシアンを分解する役割を果たすか。

主な発見

• de Rham-Hodge ラプラシアン $\square$ は、確率解析の文脈において自然に生じ、コンパクトなリーマン多様体上でのナビエ＝ストークス方程式の確率的表現を提供する。
• 確率的表現は、恒等式 $-\square B = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2 B + 2\mathcal{T}_1(B)$ を用いて導出され、ここで $\{A_i\}$ はナッシュ埋め込みから得られるベクトル場である。
• Ebin-Marsden ラプラシアン $\hat{\square}$ は、多様体がアインシュタイン（つまりリッチ曲率が計量に比例する）でない限り、発散なしベクトル場の空間を保存しない。
• 密度 $\rho_t$ のための SPDE は $d\rho_t = -\sqrt{2\nu}\langle dJ(x)\nabla\rho_t + \text{Trace}(\alpha)\rho_t, dW_t\rangle + (\nu\Delta\rho_t + \mathcal{L}_{u_t}\rho_t)dt$ として導出され、確率的流れとナビエ＝ストークス力学の間の関連を示す。
• 初期値 $z_0 = 0$ の熱型方程式 $\frac{dz_t}{dt} = -\nu \tilde{\square} z_t - \mathcal{L}_{u_t}^* z_t$ の解の一意性から $z_t = 0$ が導かれる。これにより、確率的解が古典的解と一致することが証明される。
• Ebin-Marsden ラプラシアンは、発散なし $B$ に対して $\hat{\square}B = \square B + 2\text{Ric}(B)$ を満たすことが確認され、一般の曲がった多様体上では発散なし性が保たれないことが判明する。