[論文レビュー] Natural operations on the Hochschild complex of commutative Frobenius algebras via the complex of looped diagrams

Angela Klamt|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、可換Frobenius dg代数のHochschild複体上の自然な作用を構成するために、ループ付き図式のdgカテゴリーを導入する。この複体は、チェーンレベルでの「スパイラル化されたカクタス操作系」を実現するものであり、Lodayのλ作用、Sullivanの弦図式作用、およびスパイラル化されたBV代数構造といった既知の作用をすべて回復する。これにより、この文脈におけるすべての形式的作用を統一的かつ計算可能な枠組みで扱えるようになる。

ABSTRACT

We define a dg-category of looped diagrams which we use to construct operations on the Hochschild complex of commutative Frobenius dg-algebras. We show that we recover the operations known for symmetric Frobenius dg-algebras constructed using Sullivan chord diagrams as well as all formal operations for commutative algebras (including Loday's lambda operations) and prove that there is a chain level version of a suspended Cactus operad inside the complex of looped diagrams. This recovers the suspended BV algebra structure on the Hochschild homology of commutative Frobenius algebras defined by Abbaspour and proves that it comes from an action on the Hochschild chains.

研究の動機と目的

• 可換Frobenius dg代数のHochschild複体に対する組み合わせ的かつ計算可能な作用の複体を構成すること。
• Sullivanの弦図式、Lodayのλ作用、およびスパイラル化されたBV構造といった既知の作用を統一すること。
• Hochschildチェーンに作用するスパイラル化されたカクタス操作系のチェーンレベル実現を提供すること。
• Hochschildホモロジー上のBV代数構造が、コホモロジーではなくチェーンに作用することによって生じることを回復すること。
• これまでに知られていた作用の間の関係を計算可能な枠組みで確立すること。

提案手法

• 最初の$n_1$個のラベル付き葉に始まる$n_1$個のループを持つ、ラベル付き葉を備えた可換Sullivan図式としてのループ付き図式の概念を導入する。
• 境界の退化とループの分裂によって誘導される微分を持つ、ループ付き図式のdgカテゴリーを定義する。
• 関連する位相的・代数的構造を特定するために、$pl\tilde{\frak{D}}_{\text{Com}}$ や $pl\frak{D}_{\text{cact}}$ といった部分複体を構成する。
• genus と境界成分を補正するために、度数シフト $-d \times \chi(\Gamma, \partial_{\text{out}})$ を適用する。
• Connesの境界作用素とLodayのシャッフル作用素を用いて、可換代数上の既知の形式的作用と関係づける。
• ループ付き図式の複体が、可換Frobenius dg代数の形式的作用の複体に擬等長写像として写ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの組み合わせ的複体が、可換Frobenius dg代数のHochschild複体上のすべての自然な作用を捉えることができるか？
• RQ2 ループ付き図式の複体は、Hochschildチェーンに作用するスパイラル化されたカクタス操作系のチェーンレベル作用を実現するか？
• RQ3 Sullivanの弦図式作用、Lodayのλ作用、およびBV構造は、統一的な枠組みの中でどのように関係するか？
• RQ4 意味のある作用を特定するために、正の境界条件と非可約性が果たす正確な役割は何か？
• RQ5 ループ付き図式の複体は、シャッフル積とGoresky-Hingston積といった既知の作用の間の関係を計算できるか？

主な発見

• ループ付き図式の複体は、スパイラル化されたカクタス操作系のチェーンレベルモデルを提供し、Hochschildホモロジー上のBV代数構造がチェーンへの作用として実現されることを示す。
• 可換Frobenius dg代数のすべての形式的作用が回復され、Lodayの$\lambda$-作用とシャッフル積が含まれる。
• この構成により、Sullivanの弦図式からの作用が回復され、Hochschildチェーンレベルへと拡張される。
• 部分複体$pl\frak{D}_{\text{cact}}$は、非可約で、平面的かつ連結なループ付き図式で、各 genus に1つの定数ループを持つものに対応し、カクタス操作系構造を符号化する。
• ループ付き図式の複体は、形式的作用の複体に擬等長写像として写され、計算可能なモデルを提供する。
• この枠組みにより、Goresky-Hingston積とBV作用素の間の関係の計算が可能になる。