[論文レビュー] Naturally reductive pseudo-Riemannian Lie groups in low dimensions

Viviana del Barco, Gabriela P. Ovando+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、3次元ヘイゼンベルク群 H₃(ℝ) 上で、左不変なローレンツ計量が自然的再帰的であるための必要十分条件は、その中心が非退化であることであると示し、このような計量は代数的リッチソリトンである。本研究では、4次元可解 Lie 群に双不変計量を持つ場合の等長群を構成し、それらが H₃(ℝ) 上に等長的に作用することを示し、高次元群における双不変計量を通じて自然的再帰的構造の幾何的実現を与える。

ABSTRACT

This work concerns the non-flat metrics on the Heisenberg Lie group of dimension three $\Heis_3(\RR)$ and the bi-invariant metrics on the solvable Lie groups of dimension four. On $\Heis_3(\RR)$ we prove that the property of the metric being naturally reductive is equivalent to the property of the center being non-degenerate. These metrics are Lorentzian algebraic Ricci solitons. We start with the indecomposable Lie groups of dimension four admitting bi-invariant metrics and which act on $\Heis_3(\RR)$ by isometries and we finally study some geometrical features on these spaces.

研究の動機と目的

• H₃(ℝ) 上の左不変な自然的再帰的ローレンツ計量を特徴づけること。
• このような計量について、非平坦性、中心の非退化性、および自然的再帰的性の間の同値性を証明すること。
• 双不変計量を備えた4次元可解 Lie 群 G₀ および G₁ の等長群を構成すること。
• これらの4次元群とそれらが H₃(ℝ) 上に等長的に作用する関係を幾何的に確立すること。
• H₃(ℝ) 上の非平坦で自然的再帰的計量が代数的リッチソリトンであることを示すこと。

提案手法

• 次元4以下の Lie 代数における ad-不変計量の使用により、可能な等長群を分類すること。
• 線形等長写像の特徴づけに、(i) 計量を保存すること、(ii) Lie 積構造を保存することの2条件を適用すること。
• 双不変計量を備えた単連結可解4次元 Lie 群 G₀ および G₁ に対して、等長群 F(G) を構成すること。
• 計量および括弧構造の保存条件を満たす行列形の線形等長写像を導出すること。
• 任意の自然的再帰的擬リーマン多様体が、双不変計量を備えた Lie 群による推移的等長作用をもつことの事実を利用すること。
• O(2) や O(1,1)、符号の選択、R² 上の平行移動を含む半直積として、等長群を明示的に計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H₃(ℝ) 上の左不変な自然的再帰的ローレンツ計量はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 このような計量について、中心の非退化性は自然的再帰的性と同値か？
• RQ3 双不変計量を備えた4次元可解 Lie 群の等長群は何か？
• RQ4 これらの4次元群は H₃(ℝ) 上にどのように等長的に作用するか？
• RQ5 H₃(ℝ) 上の非平坦で自然的再帰的計量は代数的リッチソリトンか？

主な発見

• H₃(ℝ) 上の左不変なローレンツ計量が自然的再帰的であるための必要十分条件は、その中心が非退化であることである。
• H₃(ℝ) 上の左不変なローレンツ計量は3つのクラスに分類される：1つは平坦（中心が退化）であり、残り2つは非平坦で自然的再帰的（中心が非退化）である。
• 双不変計量を備えた4次元可解 Lie 群 G₀ の等長群 F(G₀) は、({1, -1} × O(2)) ⋉ R² に同型である。
• 双不変計量を備えた4次元可解 Lie 群 G₁ の等長群 F(G₁) は、({1, -1} × O(1,1)) ⋉ R² に同型である。
• H₃(ℝ) 上の非平坦で自然的再帰的計量は代数的リッチソリトンである。
• G₀ および G₁ に対して、F(G) の単位成分は、内部自己同型の群、すなわち G のアドジョイント表現に一致する。