[論文レビュー] Necessary conditions for linear convergence of Picard iterations and application to alternating projections

D. Lüke, Nguyen Hieu Thao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非拡大性が破れている場合のピカール反復における線形収束の必要条件を確立し、さまざまな形の単調性を満たすために固定点写像の度合いの下位正則性が必要であることを示している。交項投影法に適用すると、交点における集合の部分トランスバーサル性がR線形収束のために必要であることが示唆され、その結果、この文脈におけるR線形収束の根本的要件として部分トランスバーサル性が本質的であるという仮説が提示される。

ABSTRACT

We present necessary conditions for monotonicity, in one form or another, of fixed point iterations of mappings that violate the usual nonexpansive property in some quantifiable way. We show that most reasonable notions of linear-type monotonicity of fixed point sequences imply metric subregularity of the fixed point mapping. This is specialized to the alternating projections iteration where metric subregularity of the fixed point mapping takes on the distinct geometric property of subtransversality of sets at points of intersection. We show the necessity of subtransversality for a number of reasonable types of sequential monotonicity, under varying degrees of assumptions on the regularity of the sets. Based on the results we obtain, we conjecture that subtransversality is necessary for R-linear convergence to fixed points of iterates of the alternating projections sequence.

研究の動機と目的

• 非拡大性が満たされない場合の固定点反復における単調性の必要条件を特定すること。
• ピカール反復の逐次的単調性が固定点写像の度合いの下位正則性とどのように関連するかを明らかにすること。
• これらの結果を交項投影法に特化し、部分トランスバーサル性の幾何的意義を明らかにすること。
• 交項投影法におけるR線形収束のために部分トランスバーサル性が必要かどうかを調査すること。
• この文脈において部分トランスバーサル性がR線形収束の根本的要件であるという仮説を提示すること。

提案手法

• 非拡大性の弱い条件の下で固定点反復を分析し、定量的違反尺度を用いる。
• 反復列におけるさまざまなタイプの線形的単調性の必要条件を導出する。
• このような単調性が固定点写像の度合いの下位正則性を示すことを確立する。
• 度合いの下位正則性を交項投影法の文脈における幾何的性質に翻訳する。
• 度合いの下位正則性が交点における集合の部分トランスバーサル性に対応することを特定する。
• 集合に関する正則性仮定を用いて必要性の結果を強化し、仮説を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピカール反復の線形収束が固定点写像の度合いの下位正則性を示すのはどのような条件下か？
• RQ2 度合いの下位正則性は交項投影法における幾何的性質とどのように関連するか？
• RQ3 適切な正則性仮定の下で、交項投影法のR線形収束のために部分トランスバーサル性は必要か？
• RQ4 固定点列におけるどのようなタイプの逐次的単調性が集合の部分トランスバーサル性を必要とするか？
• RQ5 交項投影法におけるR線形収束のために部分トランスバーサル性は必要条件か？もしそうならば、どのような仮定の下で成立するか？

主な発見

• 非拡大性が定量的に破れている場合、ピカール反復における固定点列の単調性は、固定点写像の度合いの下位正則性を示す。
• 交項投影法の文脈では、固定点写像の度合いの下位正則性は、交点における集合の部分トランスバーサル性と同値である。
• 集合の正則性仮定が異なる条件下で、部分トランスバーサル性がさまざまなタイプの逐次的単調性のために必要であることが示された。
• 結果は、部分トランスバーサル性が交項投影法のR線形収束の必要条件であるという仮説を支持している。
• 本論文は収束行動と幾何的構造との強い関連を確立し、部分トランスバーサル性を線形収束の主要要因として位置づけている。