[論文レビュー] New artificial-free phase 1 simplex method

Nasiruddin Khan, Syed Inayatullah+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、人工変数と制約を排除するため、基底に負の変数を許容することで、従来の手法と同一の頂点の列を踏襲する人工フリーのフェーズ1単体法を提案する。この手法は、停滞を回避し、退化したピボットを削減することで、補助変数を導入せずに線形計画問題をより効率的に解くことを可能にする。

ABSTRACT

This paper presents new and easy to use versions of primal and dual phase 1 processes which obviate the role of artificial variables and constraints by allowing negative variables into the basis. During the process new method visits the same sequence of corner points as the traditional phase 1 does. The new method is artificial free so, it also avoids stalling and saves degenerate pivots in many cases of linear programming problems.

研究の動機と目的

• 単体法のフェーズ1における人工変数および制約の使用を排除すること。
• より単純かつ直感的に適用可能な原始的および双対的フェーズ1プロセスの開発。
• 線形計画問題における停滞を回避し、退化したピボットを低減すること。
• 従来のフェーズ1手法と同一の頂点列を維持しつつ、計算的挙動を改善すること。
• 標準的なフェーズ1の代替手段として、より効率的で実用的な選択肢を提供すること。

提案手法

• フェーズ1中に基底に負の変数を許容することで、人工変数の必要性を回避する。
• 負の変数でさえも入るよう変更された価格ルールを用い、妥当性を維持する。
• 従来のフェーズ1と同一の頂点の経路をたどるため、正しさが保証される。
• 双対的フェーズ1プロセスは、人工制約なしに不可行性を検出できるように適応されている。
• 標準の単体ピボットルールを活用するが、基底への入る条件を変更して負の変数を許容する。
• 適切に入る変数と抜ける変数を選択することで、プロセス全体を通じて原始的または双対的妥当性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体法のフェーズ1を人工変数や制約なしに行うことは可能か？
• RQ2 負の変数を基底に組み込むことで、人工変数を排除できるか？
• RQ3 新しい手法は、従来のフェーズ1と同一の頂点列を保持するか？
• RQ4 実際の問題において、停滞や退化ピボットを低減できるか？
• RQ5 提案手法は、既存のフェーズ1手法よりも単純かつ効率的か？

主な発見

• 提案手法は、人工変数および制約を効果的に排除し、人工フリーのフェーズ1プロセスを達成した。
• アルゴリズムは、従来のフェーズ1と同一の頂点列をたどり、正しさと一貫性が保証された。
• 基底に負の変数を許容することで、多くの場合で停滞を回避し、退化ピボットの数を削減した。
• 補助制約なしに、フェーズ1プロセス中、原始的または双対的妥当性を維持した。
• 標準的なフェーズ1に比べ、実装および適用がより簡単であった。
• 特に、退化やサイクルに悩まされる問題において、計算的挙動が改善された。