[論文レビュー] New aspects of two-dimensional quantum gravity

J. Ambjørn, R. Loll+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、因果的ダイナミカルトランギュレーション（CDT）を用いて2次元量子重力の非摂動的定式化を確立し、それが新たな行列模型およびストリング場理論と同等であることを示している。理論はトポロジーの変化に起因する確率的時間発展を示し、非エルミート的ハミルトニアンが確率的正則化によって自己随伴化され、離散的で正の固有値スペクトルをもち、摂動論的でない方法で連続極限が定義される。

ABSTRACT

Causal dynamical triangulations (CDT) can be used as a regularization of quantum gravity. In two dimensions the theory can be solved anlytically, even before the cut-off is removed and one can study in detail how to take the continuum limit. We show how the CDT theory is related to Euclidean 2d quantum gravity (Liouville quantum gravity), how it can be generalized and how this generalized CDT model has a string field theory representation as well as a matrix model representationof a new kind, and finally how it examplifies the possibility that time in quantum gravity might be the stochastic time related to the branching of space into baby universes.

研究の動機と目的

• 因果的ダイナミカルトランギュレーション（CDT）を用いて2次元量子重力の非摂動的定式化を確立すること。
• CDTを一般化し、局所的因果律の破れとトポロジー変化を許容することで、より豊かな量子幾何を可能にすること。
• 一般化されたCDTモデルが連続極限においてストリング場理論の表現を許容し、新たなタイプの行列模型を導くこと。
• モデルにおける確率的時間発展が、フォッカー・プランク方程式および確率的正則化によって自然に生じることを示すこと。
• 元の非エルミート的演算子の類似変換を用いて、離散的で正の固有値スペクトルを持つ非摂動的ハミルトニアンを定義すること。

提案手法

• 因果的構造を持つ分岐線形ローレンツ幾何の上でのCDT経路積分を形式化し、レッジ作用を用いてユークリッド的符号に回転する。
• 修正された作用と測度を用いて、局所的因果律の破れとトポロジー変化を含む一般化されたCDTモデルを導入する。
• 空間ループの長さの確率的時間発展に関するフォッカー・プランク方程式を導出し、非エルミート的ハミルトニアンを導く。
• 非エルミート的ハミルトニアンに類似変換を適用し、標準的な $ L^2 $ 空間における自己随伴演算子を獲得することで、良好に定義された量子理論を保証する。
• ストリング場理論の定式化と、連続極限を直接記述する新しい行列模型との等価性を確立する。
• WKB解析とスペクトル理論を用いて、変換されたハミルトニアンの固有値スペクトルを研究し、有界でないポテンシャルのもとでも離散的で正の固有値が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジーの変化と局所的因果律の破れの導入が、2次元CDTの非摂動的構造にどのように影響するか？
• RQ2 2次元における一般化されたCDTに対して、ストリング場理論の定式化を一貫して導出可能か？
• RQ3 2次元量子重力における空間ループの量子力学的ダイナミクスにおいて、確率的時間の役割は何か？
• RQ4 ハミルトニアンが非エルミート的である場合、理論の非摂動的スペクトルはどのように定義されるか？
• RQ5 一般化されたCDTモデルと連続極限における新たなタイプの行列模型との正確な関係は何か？

主な発見

• 2次元における一般化されたCDTモデルは、連続極限を直接記述する新しい行列模型と同等であり、非摂動的計算が可能になる。
• モデルのストリング場理論的定式化は行列模型と同等であり、同一の非摂動的量子重力理論の双対的記述を提供する。
• 空間ループの確率的時間発展はフォッカー・プランク方程式に従い、関連するハミルトニアンは非エルミート的だが、類似変換により自己随伴化される。
• 変換されたハミルトニアン $ ilde{H}(x) $ は、$ R^ op R $ の因数分解により正で離散的なスペクトルを持つため、良好に定義された量子理論が保証される。
• ポテンシャル障壁の下のエネルギー状態の波動関数は指数的減衰を示し、上側の状態は振動的挙動を示すが、適切な測度のもとでは依然として二乗可積分である。
• トポロジー変化を許容すると、空間的宇宙の平均サイズが無限大に達し、厳密に因果的なモデルと比べて量子幾何に顕著な変化が生じることを示唆する。