[論文レビュー] New bounds for the prime counting function \pi(x)

Christian Axler|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、チェビシェフ関数 θ(x) の改良された推定値を用いて、素数計数関数 π(x) のより鋭い上限と下限を確立し、短い区間における素数の存在に関する新しい結果を導出する。すべての x ≥ 58837 に対して、区間 (x, x(1 + 1.1817/log³x)] に素数が存在することを示した。これらの境界は、2010年のDusartの推定値を著しく改善し、相対的幅 O(1/log³x) の区間における素数の存在の閾値を精緻化する。

ABSTRACT

In this paper we establish a number of new estimates concerning the prime counting function \pi(x), which improve the estimates proved in the literature. As an application, we deduce a new result concerning the existence of prime numbers in small intervals.

研究の動機と目的

• 従来の結果よりも鋭い、素数計数関数 π(x) の上限および下限を導出すること。
• 特に大きな x に対して Dusart の 2010 年の推定値を改善するため、漸近的展開における誤差項を精緻化すること。
• 新しい境界を用いて、短い区間における素数の存在のより鋭い閾値を確立すること。
• 特にスケイズ数や π(x)−li(x) の符号変化に関連して、素数の小さな区間における分布を理解する長年の問題に貢献すること。

提案手法

• x ≥ e³⁰ に対して |θ(x)−x| < 0.35x/log³x が成り立つことを利用し、チェビシェフ関数 θ(x) の誤差推定値の改良によって、π(x) の新たな上限および下限を導出する。
• π(x) = θ(x)/logx + ∫₂ˣ θ(t)/(t log²t) dt という積分表現を用いて、π(x) を θ(x) と関連づけ、主要化技術を用いて境界を導出する。
• θ(x) の推定値を用いて π(x) を評価する関数 Jk,ηk,x₁(k)(x) を導入し、主な境界では k=3 および η₃=0.35 を使用する。
• 10¹⁴ 未満の臨界範囲における離散的な π(pi) および δ(pi) の値について、コンピュータによる検証を実施して境界の妥当性を確認する。
• 一般補題（補題 4.1）を用いて、π(x) の境界を、区間 (x, c(x)x) に素数が存在するための条件に変換する。ここで c(x) = 1 + 1.1817/log³x である。
• 漸近的解析と不等式の代入（例：log(1+t) ≤ t）を用いて、x ≥ e¹⁴²³.⁷²⁸ に対して π(c(x)x)−π(x) > 0 が成り立つことを証明し、より小さい範囲については計算的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dusart の 2010 年の推定値を改善する、π(x) の最も鋭い既知の上限および下限は何か？
• RQ2 すべての x ≥ 58837 に対して、区間 (x, x(1 + 1.1817/log³x)] に素数が存在することは厳密に証明可能か？
• RQ3 θ(x) の改良された誤差推定値は、π(x) のより鋭い境界および少なくとも1つの素数を含む短い区間の縮小にどのように寄与するか？
• RQ4 π(x) > li(x) となる最小の x は何か？ また、新しい境界はスケイズ数の既知の上界をどのように精緻化するか？
• RQ5 最適化された係数を用いた高次の項を含む漸近的展開を、どの程度まで鋭くできるか？

主な発見

• 本稿では、すべての x > 1 に対して、π(x) < x/logx + x/log²x + 2x/log³x + 6.35x/log⁴x + 24.35x/log⁵x + 121.75x/log⁶x + 730.5x/log⁷x + 6801.4x/log⁸x という新たな上限を確立した。
• 新たな下限が証明された：x ≥ 1,332,450,001 のとき、π(x) > x/logx + x/log²x + 2x/log³x + 5.65x/log⁴x + 23.65x/log⁵x + 118.25x/log⁶x + 709.5x/log⁷x + 4966.5x/log⁸x が成り立つ。
• 新しい上限は、すべての x ≥ e²³.¹¹ に対して Dusart の 2010 年の推定値（7）を改善し、より鋭い漸近的近似を提供する。
• 本稿では、すべての x ≥ 58,837 に対して、x < p ≤ x(1 + 1.1817/log³x) を満たす素数 p が存在することを証明した。これは、x ≥ e¹³¹.¹⁶⁸⁷ のときのTrudgianの2014年結果を改善する。
• 証明は、θ(x) の誤差推定値を用いた解析的境界と、臨界範囲における離散的値の広範な計算的検証を組み合わせたものである。
• この結果は、Kadiri と Lumley の 2014 年の境界（1 + 1/2,442,159,713）を改善し、x ≥ e¹⁵⁰ のとき、区間幅の係数を約 1/2.44×10⁹ から約 1.1817/log³x に短縮した。