[論文レビュー] New Classes of Permutation Binomials and Permutation Trinomials over Finite Fields

Kangquan Li, Longjiang Qu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ヘルメートの基準および特殊方程式の解の個数を用いて、偶数の特徴を持つ有限体上の新しいクラスの置換二項式および三項式を提示する。主な貢献は、$ Rubio^{m} $ 上で新たな、乗法的同値でない置換三項式の構成であり、既知の族を拡張し、符号理論および暗号理論への応用のための新しいツールを提供する。

ABSTRACT

Permutation polynomials over finite fields play important roles in finite fields theory. They also have wide applications in many areas of science and engineering such as coding theory, cryptography, combinatorial design, communication theory and so on. Permutation binomials and trinomials attract people's interest due to their simple algebraic form and additional extraordinary properties. In this paper, several new classes of permutation binomials and permutation trinomials are constructed. Some of these permutation polynomials are generalizations of known ones.

研究の動機と目的

• 偶数の特徴を持つ有限体上での新しい明示的クラスの置換二項式および三項式を構成すること。
• 単純な代数的形を有し、特異な構造的性質を示す置換多項式の既知のリストを拡張すること。
• 新規構成が、これまでに知られているクラスと乗法的同値でないことを確立し、真正に新しい族を表していることを保証すること。
• 符号理論、暗号理論、およびバント関数および準バント関数の構成のための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 多項式 $f(x)^t \mod (x^q - x)$ の根の個数および次数条件を確認することで、置換性質を検証するヘリュートの基準の適用。
• 乗法的同値関係を用いて多項式形を簡略化および一般化し、$\gcd(d, q-1) = 1$ を満たす $x \mapsto x^d$ の下で置換性を保持する。
• 置換性質を導くための特殊方程式 $x^{2^{k+1}+1} + x = a$ の解の個数を分析する。
• 特徴が2の有限体における二項係数のモジュロ2の分析にルーカスの公式を用いる。
• 方程式系における代数的変形および代入を用いて、置換三項式の必要条件を導出する。
• $4 \leq m \leq 10$ の小さな体 $\mathbb{F}_{2^m}$ に対して、Magmaを用いた計算ツールにより乗法的同値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数の特徴を持つ有限体上では、どのような新しいクラスの置換二項式および三項式を構成できるか？
• RQ2 ヘリュートの基準および特殊方程式の解の個数を、置換性質を証明するために体系的にどのように適用できるか？
• RQ3 新たに構成された置換三項式は、すべて既知のクラスと乗法的同値でないか？
• RQ4 これらの新しい多項式を用いて、バント関数や準バント関数のような高非線形関数を生成できるか？
• RQ5 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上の二項式および三項式において、係数および指数にどのような構造的条件が置換性をもたらすか？

主な発見

• 五つの新しい置換三項式のクラスが $\mathbb{F}_{2^m}$ 上に構成され、そのうち二つは自明な係数、三つは非自明な係数を有する。
• 定理4.9、4.10、および4.11に含まれる置換三項式は、すべて既知のクラス（定理4.5、4.6、および4.12に含まれるクラスを含む）と乗法的同値でないことが証明された。
• 定理4.10および4.11に含まれる構成された置換三項式は、[21]の定理4.12のクラスとも乗法的同値でないことが示された。
• $m = 3k$ で $k$ が奇数のとき、関数 $f(x) = x + x^{2^k+1} + x^{2^{2k}+2^k+1}$ は $\mathbb{F}_{2^m}$ 上で置換三項式である。これは既知の族を拡張する。
• 非同値性の証明は、体の次元（奇数対偶数）および係数のパターンにおける構造的差異に依拠し、$4 \leq m \leq 10$ に対してMagma計算により確認された。
• 結果は、線形および巡回符号の構成、およびバント関数および準バント関数の生成のための基盤を提供する。結論および参考文献にて指摘されている通り。