[論文レビュー] New criterion of physical measures for partially hyperbolic diffeomorphisms

Yongxia Hua, Fan Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$C^1$部分的双曲的微分同相写像における物理的測度のための新しい基準を確立し、一般の軌道のCesàro極限が集合 $\operatorname{G}^u(f)$ に属することを示すことによって、部分エントロピーのペジン公式を満たす。主な結果は、1次元中心を持つ $C^{1+}$ 微分同相写像について、ほとんどすべての点が非ゼロ中心指数を持つ物理的測度の吸引域に属するか、それとも時間平均における中心指数が消えることである。これは、$C^{1+\alpha}$ の設定を超えた $C^1$ 動的系における長年の空白を解消する。

ABSTRACT

We show that for any $C^1$ partially hyperbolic diffeomorphism, there is a full volume subset, such that any Cesaro limit of any point in this subset satisfies the Pesin formula for partial entropy. This result has several important applications. First we show that for any $C^{1+}$ partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional center, there is a full volume subset, such that every point in this set belongs to either the basin of a physical measure with non-vanishing center exponent, or the center exponent of any limit of the sequence $\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}δ_{f^i(x)}$ is vanishing. We also prove that for any diffeomorphism with mostly contracting center, it admits a $C^1$ neighborhood such that every diffeomorphism in a $C^1$ residual subset of this open set admits finitely many physical measure, whose basins have full volume.

研究の動機と目的

• C^1$ 部分的双曲的微分同相写像における物理的測度の理論的空白を埋めること、既存の結果が $C^{1+\alpha}$ の正則性に限られていること。
• 部分エントロピーのペジン公式を満たす測度の自然な候補集合 $\operatorname{G}^u(f)$ を特定すること—これは通常の点の経験的測度の弱*極限としての唯一の可能性である。
• $C^{1+}$ 部分的双曲的微分同相写像で中心が1次元である場合、ほとんどすべての点が非ゼロ中心指数を持つ物理的測度の吸引域に属するか、時間平均における中心指数が消えることの証明。
• $C^1$ 停止的近傍におけるほとんどすべての微分同相写像が、有限個の物理的測度をもち、それぞれの吸引域が全測度を持つことを確立すること。

提案手法

• $\operatorname{G}^u(f)$ を、不安定foliation 沿いの部分エントロピーがペジン公式を満たす不変測度の集合として定義する：$h_\mu(f,\mathcal{F}^u) - \int \log \det(Tf|_{E^u}) \, d\mu \geq 0$。
• $C^1$ 部分的双曲的微分同相写像に対して、全測度の部分集合 $\Gamma$ が存在し、任意の $x \in \Gamma$ のCesàro極限が $\operatorname{G}^u(f)$ に属することを示す。これは不安定な葉の構造と体積成長の制御を用いる。
• 一様な歪み推定と不安定ディスクのまわりの円環近傍 $D_{b,n}$ を用いて、軌道が通常の近傍から逸脱する可能性のある「悪い」領域の体積を抑え込む。
• 不安定な葉内のディスクの前像の再帰的選択プロセスを用い、通常の点を被覆する。体積比の可 summability 性により、被覆されない集合の総体積が消えることを保証する。
• $\operatorname{G}^u(f)$ がコンパクトかつ凸であること、および $C^{1+\alpha}$ システムではルエールの不等式により $h_\mu(f,\mathcal{F}^u) - \int \log \det(Tf|_{E^u}) \, d\mu \leq 0$ となることから、$\operatorname{G}^u(f)$ が等号ケースを捉えていることを利用。
• 最小不安定foliation と負の中心リャプノフ指数を用い、物理的測度がギブス $u$-状態であることを保証し、基準を適用して吸引域が全測度を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^1$ 部分的双曲的微分同相写像における物理的測度は、$C^{1+\alpha}$ 正則性やホルダー型ポテンシャルを必要としない基準によって特徴付けられるか。
• RQ2 $C^{1+}$ 部分的双曲的微分同相写像で中心が1次元の場合、非ゼロ中心指数を持つ物理的測度の吸引域に属さない点のほとんどすべてについて、時間平均における中心指数が消えるか。
• RQ3 $C^1$ 停止的近傍における任意のほとんど収束的微分同相写像について、有限個の物理的測度をもち、それぞれの吸引域が全測度を持つのか。
• RQ4 $\operatorname{G}^u(f)$ は、絶対連続性の欠如によりペジン公式が直接適用できない場合でも、$C^1$ 動的系における物理的測度の自然な候補であるか。
• RQ5 不安定な葉上の体積成長の議論を用いて、良い前像で被覆されない点の集合が測度ゼロであることを示せるか。これにより、全測度の吸引域が保証される。

主な発見

• $C^1$ 部分的双曲的微分同相写像に対して、全測度の部分集合 $\Gamma$ が存在し、任意の $x \in \Gamma$ について、経験的測度 $\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(x)}$ の任意の弱*極限が $\operatorname{G}^u(f)$ に属し、部分エントロピーのペジン公式を満たす。
• $C^{1+}$ 部分的双曲的微分同相写像で中心が1次元の場合、ほとんどすべての点が非ゼロ中心指数を持つ物理的測度の吸引域に属するか、それとも時間平均における中心指数が消える。
• $C^1$ 停止的近傍における任意のほとんど収束的微分同相写像について、有限個の物理的測度をもち、それぞれの吸引域が全測度を持つ。
• $\operatorname{G}^u(f)$ は、任意の $C^1$ 微分同相写像について空でなく、コンパクトかつ凸であるため、物理的測度の強固な候補である。
• 不安定ディスクのまわりの「悪い」近傍の体積は $\lambda^n$ で指数的に減少し、ここで $\lambda = \|Tf^{-1}|_{E^u}\| < 1$ である。これにより、和分可能性と背理法による議論が可能になり、全測度被覆が示される。
• 前像ディスクとその悪い近傍の構成により、被覆されない集合の不安定体積がゼロとなることが保証され、残留ケースにおける $\mu$ の吸引域が全測度であることが証明される。