[論文レビュー] New Heavy Flavor Contributions to the DIS Structure Function $F_2(x,Q^2)$ at $O(α_s^3)

Jakob Ablinger, J. Blümlein+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 13被引用数 20

ひとこと要約

本論文は、$F_2(x,Q^2)$ 構造関数の深接続散乱における三ループの質量のあるオペレータ行列要素（OMEs）およびウィルソン係数を $O(\alpha_s^3)$ で完全に解析的に計算することを提示している。charm および bottom クォークの異なる質量を含む。中間段階で出現する新しい巡回的調和和および多重対数関数を導入し、$N=6$ におけるグルーオン的 OME $A_{Qg}^{(3)}$ の明示的結果と、メリン空間における $A_{gq,Q}^{(3)}$ の解析的表現を提供している。これにより、LHC やテバトロンのエネルギー領域における高精度 QCD 分析が可能になる。

ABSTRACT

We report on recent results obtained for the massive Wilson coefficients which contribute to the structure function $F_2(x,Q^2)$ at $O(α_s^3)$ in the region $Q^2/m^2 \gsim 10$. In the calculation new species of harmonic sums and harmonic polylogarithms generated by cyclotomic polynomials arise in intermediary results which are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 深接続散乱（DIS）構造関数 $F_2(x,Q^2)$ の三ループの質量のあるオペレータ行列要素（OMEs）を $O(\alpha_s^3)$ で計算し、異なる質量を持つ charm および bottom クォークの寄与を含む。
• フェルミオンが異なる質量を持つフェニマン図に由来する巡回的構造を含む調和和および多重対数関数の形式的拡張を行う。
• $N=6$ におけるグルーオン的 OME $A_{Qg}^{(3)}$ の解析的結果を提供し、高次の QCD 矯正のベンチマークを提供する。
• $\overline{\text{MS}}$ スキームにおける $A_{gq,Q}^{(3)}$ OME の再結合表現を導出する。これは可変フレーバー数スキームに不可欠である。
• HarmonicSums パッケージを用いて、高精度 QCD 計算における巡回的調和和および多重対数関数の使用を実装および検証する。

提案手法

• 一般の $N$ に対してメリン空間で三ループの質量のある OME を $O(\alpha_s^3)$ で計算するために、tform および Sigma という和計算パッケージを用いた。
• 次元正則化と $\varepsilon$-展開を用いて、ループ積分における紫外・赤外発散を処理した。
• プロジェクターと代数的恒等式を適用し、フェルミオン図をマスター積分と調和和構造に分解した。
• $\mathfrak{A} = \{1/x\} \cup \{x^l / \Phi_k(x)\}$ を基本とする、巡回的調和多対数関数の一般化されたアルファベットを導入した。ここで $\Phi_k$ は巡回的多項式である。
• 得られた調和和を単位根上のネスト和に写像し、$O(\alpha_s^3)$ 矯正の解析的評価を可能にした。
• 一貫性チェックおよび既知の $O(\alpha_s^2)$ および $O(\alpha_s^3)$ の結果との比較により、結果を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $N$ に対して、異なる質量を持つ二つのクォークの寄与を含む三ループの質量のある OME $A_{Qg}^{(3)}$ および $A_{gq,Q}^{(3)}$ の解析的表現は何か？
• RQ2 三ループの質量のある OME の計算において、巡回的調和和および多重対数関数はどのように出現し、その代数的構造は何か？
• RQ3 運動的領域 $Q^2/m^2 \gtrsim 10$ における構造関数 $F_2(x,Q^2)$ に対する $O(\alpha_s^3)$ 矯正の数値的影響は何か？
• RQ4 一般の $N$ におけるメリンモーメント空間で、$O(\alpha_s^3)$ 矯正の対数的項と定数項の大きさはどのように比較されるか？
• RQ5 巡回的拡張を含む一般化された調和和形式的体系は、重いフレーバー DIS における高次の補正を体系的に計算するために適用可能か？

主な発見

• $N=6$ におけるグルーオン的 OME $A_{Qg}^{(3)}$ の計算は数か月にわたる計算を経て実施され、$\ln^3(m_2^2/\mu^2)$ および $\ln^3(m_1^2/\mu^2)$ 項を含む結果が得られた。係数にはゼータ関数値と有理数が含まれる。
• $\overline{\text{MS}}$ スキームにおける再結合済み $A_{gq,Q}^{(3)}$ OME は、調和和 $S_1, S_2, S_3, S_{2,1}, S_{3,1}, S_{-2,1,1}, S_{2,1,1}$ および $m^2/\mu^2$ に関する対数的項で表された。
• 計算により、特に $k=3,4,5,6$ に対して、巡回的多項式に関連する新しい種類の調和和が明らかになった。これらは標準的な調和和に還元できない。
• $O(\alpha_s^3)$ 矯正の構造には、$\ln^3(m^2/\mu^2)$、$\ln^2(m^2/\mu^2)\ln(m_1^2/\mu^2)$、および混合対数積項が含まれており、質量スケールに非自明な依存性があることを示している。
• $N=6$ における $A_{Qg}^{(3)}$ の結果には、$\ln^3(m_2^2/\mu^2)$ 項の係数 $\frac{324148}{19845}$ および $\ln^3(m_1^2/\mu^2)$ 項の係数 $\frac{412808}{19845}$ が明示的に含まれており、有理数およびゼータ関数の寄与が含まれる。
• 形式的体系は $O(T_F^2 C_A)$ および $O(T_F^2 C_F)$ の色因子をうまく組み込み、既知の調和和の基底で表現された結果を得ており、グローバル QCD フィットにおける数値的実装を可能にしている。