[論文レビュー] New P$c$N and AP$c$N functions over finite fields

Yanan Wu, Nian Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、巡回的技術、スイッチ法、一般化されたAGW基準を用いて、有限体上での完全 $c$-非線形（P$c$N）およびほぼ完全 $c$-非線形（AP$c$N）関数の新しい構成を提示する。1つのP$c$N関数クラスと4つのAP$c$N関数クラスを導入し、AGW基準を用いて4つの追加クラスを生成した。これらはすべて、低 $c$-微分均一性を達成しており、いくつかの関数はアフィン同値に関して新規であることが証明されている。

ABSTRACT

Functions with low $c$-differential uniformity were proposed in $2020$ and attracted lots of attention, especially the P$c$N and AP$c$N functions, due to their applications in cryptography. The objective of this paper is to study P$c$N and AP$c$N functions. As a consequence, we propose a class of P$c$N functions and four classes of AP$c$N functions by using the cyclotomic technique and the switch method. In addition, four classes of P$c$N or AP$c$N functions are presented by virtue of (generalized) AGW criterion.

研究の動機と目的

• 有限体上でのP$c$NおよびAP$c$N関数の新しいクラスを、低 $c$-微分均一性を有するように構成し、微分暗号解読に対する耐性を向上させること。
• 既存の単項式を超えた構成を拡張するために、多項式に基づくP$c$NおよびAP$c$N関数を開発すること。
• 特に巡回的技術、スイッチ法、一般化されたAGW基準といった高度な代数的ツールを用いて、$c$-微分特性が保証される新しい関数を体系的に生成すること。
• 既知の結果と比較することで、代数的次数、$c$-値、体の特徴に関する差を確認し、関数の新規性を検証するとともに、アフィン同値に関しての不変性を調査すること。

提案手法

• $c \in \mathbb{F}_q \setminus \{1\}$ に対して $c$-微分方程式 ${}_{c}D_{a}F(x) = b$ を解析・解明するために、巡回的技術とスイッチ法を用い、均一性の性質を保証する。
• 一般化されたAGW基準を適用し、$\phi(x)$ が特定の集合 $J$ を置換し、$\ker(\phi) \cap \mathbb{F}_q = \{0\}$ であるか、または $\mathbb{F}_q$ 上で2対1であることを確認することで、新しいP$c$NおよびAP$c$N関数を構成する。
• 構造 $F(x) = u\phi(x) + \sum_{i=1}^{t} g\left(x^q - x\right)^{(q^n - 1)/d_i}$ を用いて、$c$-微分均一性が1または2である関数を生成する。
• トレース関数 $\operatorname{Tr}^{q^n}_q(x)$ と多項式合成を用いて、部分関数を定義し、低 $c$-微分均一性を維持する。
• $\mathbb{F}_{2^4}$ および $\mathbb{F}_{q^3}$ 上での明示的例を用いて構成を検証し、特定の $c$ と体パラメータに対してAP$c$Nの挙動を示した。
• 既知の関数と比較し、代数的次数、$c$-値、特徴 $p$ を用いて、アフィン変換に関して非同値であることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上での代数的技法を用いて、単項式を超えた新しいP$c$NおよびAP$c$N関数を構成できるか？
• RQ2 巡回的技術とスイッチ法は、低 $c$-微分均一性を有する関数の構成をどのように可能にするか？
• RQ3 一般化されたAGW基準およびその変種は、P$c$NおよびAP$c$N関数の体系的生成をどの程度可能にするか？
• RQ4 新たに構成された関数は、アフィン同値またはCCZ同値に関して既知のものと同値であるか、特にアフィン置換 $L$ に対して $F \circ L(x)$ で同値であるか？
• RQ5 AGWに基づく構成において、$\phi(x)$ の核と像の構造が $c$-微分均一性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 巡回的技術とスイッチ法を用いて、$c$-微分均一性が正確に1である1つの新しいP$c$N関数クラスを構成した。
• 同じ手法により、$c$-微分均一性が2である4つの新しいAP$c$N関数クラスを提案した。
• 一般化されたAGW基準を用いて、$\phi(x)$ および $g(x)$ の性質に応じて、均一性が1または2である4つの追加のP$c$NまたはAP$c$N関数クラスを導出した。
• $\mathbb{F}_{2^4}$ 上での例として、$F(x) = x^2 + x + (x^q - x)^{(q^3 - 1)/3} + (x^q - x)^{(q^3 - 1)/5}$ が、すべての $c \in \mathbb{F}_q \setminus \{1\}$ に対してAP$c$Nであることが確認された。
• 構成された関数は、代数的次数、$c$-値、体の特徴の違いにより、アフィン変換 $F \circ L(x)$ に関して既知のものと同値でないことが確認された。
• 本稿では、$c$-微分均一性がEA同値またはCCZ同値では保存されないが、アフィン置換 $L(x)$ との合成では保存されることを確立した。これにより、新規性の検証が可能になった。