[論文レビュー] New Permutation Trinomials From Niho Exponents over Finite Fields with Even Characteristic

Nian Li, Tor Helleseth|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、Niho指数と線形分数多項式を用いて、偶数特性の有限体上での新しいクラスの置換三項式を提示する。$$\mathbb{F}_2^n$$ 上の式を解析し、線形分数変換の置換性質を活用することで、$$f(x) = x + x^{s(2^m−1)+1} + x^{t(2^m−1)+1}$$ の形の新たな三項式を構成し、先行研究を一般化し、暗号応用のための乗法的非同値な構成を提供する。

ABSTRACT

In this paper, a class of permutation trinomials of Niho type over finite fields with even characteristic is further investigated. New permutation trinomials from Niho exponents are obtained from linear fractional polynomials over finite fields, and it is shown that the presented results are the generalizations of some earlier works.

研究の動機と目的

• $$n = 2m$$ の条件下で、$$f(x) = x + x^{s(2^m−1)+1} + x^{t(2^m−1)+1}$$ の形の$$\mathbb{F}_2^n$$ 上の新しい置換三項式のクラスを構成すること。
• 線形分数多項式を介して柔軟なパラメータ対$$(s,t)$$を導入することで、Niho指数に基づく置換三項式に関する先行研究を一般化すること。
• $$\mathbb{F}_2^n$$ の単位円上における線形分数変換の置換性に基づく、新しい手法を確立すること。
• 新たに構成された三項式が、既知のものと乗法的非同値であることを証明し、置換多項式族の多様性を高めること。
• 先行研究における2つの予想を、単位円上での特定の分数多項式の置換性の検証によって解決すること。

提案手法

• $$f(x) = x^r g(x^s)$$ の置換性を、単位円$$U = \{x \in \mathbb{F}_2^n : x^{2^m+1} = 1\}$$ 上での$$h(x) = x^r g(x)^s$$ の置換性に帰着させるため、補題1を用いる。
• $$ad + bc \neq 0$$ を満たす線形分数多項式$$\varphi(x) = (ax + b)/(cx + d)$$ の理論を応用し、特定の変換下での$$x \mapsto x^{2^k}$$ の動的挙動を解析する。
• 線形分数写像の再帰的合成を用いて、初期パラメータ$$a$$と$$k$$に基づき、$$x^{2^{ik}}$$ の恒等式を導出する。
• $$e_{i−1}^{2^k} + e_1 + 1 = 0$$ かどうかに応じて、$$x^{2^{ik}} = x$$ または$$x^{2^{ik}} = (e_i x + 1)/(x + e_i + 1)$$ となる条件を導出する。
• 三項式の置換性と、特に$$h(x) = x^r (1 + x^s + x^t)^{2^m−1}$$ の使用を通じた、単位円上での有理関数の関数的挙動との関係を確立する。
• $$h(x)$$ が$$U$$を置換するならば、かつ$$\gcd(r,s) = 1$$ ならば、$$f(x) = x^r g(x^s)$$ は$$\mathbb{F}_2^n$$ 上の置換多項式であるという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Niho指数と線形分数変換を用いて、$$\mathbb{F}_2^n$$ 上で$$f(x) = x + x^{s(2^m−1)+1} + x^{t(2^m−1)+1}$$ の形の新しい置換三項式を構成できるか？
• RQ2 線形分数写像から導かれるパラメータ$$(s,t)$$ は、既知の構成とは乗法的非同値な新たな置換三項式をどのように導くか？
• RQ3 $$m$$ と$$k$$ にどのような条件を課すと、三項式から導かれる有理関数$$h(x)$$ が$$\mathbb{F}_2^n$$ の単位円$$U$$を置換するか？
• RQ4 提案手法は、[3, 11, 14] における先行研究を一般化できるか？また、文献に残された未解決の予想を解消できるか？
• RQ5 線形分数写像の合成が、$$x^{2^{ik}}$$ の置換を生成するための代数的条件は何か？その条件下で置換三項式の構成が可能か？

主な発見

• $$n = 2m$$ の条件下で、$$k$$ をパrameterとする2つの新しい無限族の置換三項式を構成した。ここで$$(s,t) = (2^k/(2^k−1), −1/(2^k−1))$$ および$$(s,t) = (1/(2^k+1), 2^k/(2^k+1))$$ であり、条件$$\gcd(2^k−1, 2^m+1)=1$$ または$$\gcd(2^k+1, 2^m+1)=1$$ を満たす。
• 最初の族は[3]の三項式を一般化しており、$$k=1$$ のとき$$(s,t) = (2,−1)$$ が特殊ケースとして含まれる。
• 2番目の族は[11]の三項式を一般化しており、$$k=1$$ のとき$$(s,t) = (1/3, 2/3)$$ が特殊ケースとして含まれる。
• 構成されたすべての三項式は、単位円上での関連有理関数$$h(x)$$ の非同値性により、既知のものと乗法的非同値であることが確認された。
• 線形分数写像の動的挙動を解析することで、$$h(x)$$ が$$U$$上で置換することの証明に成功し、$$x^{2^{ik}}$$ が有理変換を満たす明示的条件を導出した。
• 導出された恒等式と条件を用いて、単位円上での特定の分数多項式の置換性を検証することで、[7]における2つの予想を解決した。