[論文レビュー] New Volume Comparison results and Applications to degeneration of Riemannian metrics

Qi S. Zhang, Meng Zhu|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ベクトル場を含む一般化されたリッチ曲率条件を導入し、バクリ＝エーメリー条件を越えて、元の多様体上で直接体積比較、ラプラシアン比較、勾配評価を確立する。主な貢献は、ポテンシャル関数の勾配に特異性を許容するより弱い仮定のもとで、体積比のほぼ単調性と収束結果を証明したことである。これにより、計量の退化やリッチソリトンへの新たな応用が可能になる。

ABSTRACT

We consider a condition on the Ricci curvature involving vector fields, which is broader than the Bakry-Émery Ricci condition. Under this condition volume comparison, Laplacian comparison, isoperimetric inequality and gradient bounds are proven on the manifold. Specializing to the Bakry-Émery Ricci curvature condition, we initiate an approach to work on the original manifold, which yields, under a weaker than usual assumption, the results mentioned above for the {\it original manifold}. These results are different from most well known ones in the literature where the conclusions are made on the weighted manifold instead. Applications on convergence and degeneration of Riemannian metrics under this curvature condition are given. To this effect, in particular for the Bakry-Émery Ricci curvature condition, the gradient of the potential function is allowed to have singularity of order close to $1$ while the traditional method of weighted manifolds allows bounded gradient. This approach enables us to extend some of the results in the papers \cite{Co}, \cite{ChCo2}, \cite{zZh}, \cite{TZ} and \cite{WZ}. The condition also covers general Ricci solitons instead of just gradient Ricci solitons.

研究の動機と目的

• ベクトル場を含むより広範なリッチ曲率条件のもとで、体積比較と勾配推定を確立すること。これはバクリ＝エーメリー条件を一般化する。
• 重み付き多様体ではなく、元の多様体上で結果を確立することにより、ポテンシャル関数の勾配が有界である必要を回避すること。
• 従来の要件よりも弱い仮定のもとで、リーマン計量の収束および退化に関する結果を拡張すること。
• メトリックコーン、特異集合のサイズ、および $oldsymbol{ ho}$-スプリット写像に関する既存の結果を、ポテンシャル関数の勾配が有界でない場合にまで拡張すること。
• 本曲率条件のもとで、勾配リッチソリトンに限らず一般のリッチソリトンに対しても理論を適用可能とすること。

提案手法

• 修正されたリッチ曲率条件を導入：$ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$、ここで $V$ は滑らかなベクトル場であり、$ancyscript{L}_V g$ はリー微分である。
• 一般化されたラプラシアン比較とセグメント不等式の技法を用いて、この条件のもとで体積比較定理を証明する。
• 熱核の評価と切り捨て関数を用いて、局所的な等周的およびソボレフ定数の推定を確立する。
• 修正された曲率条件と過剰推定を用いて、勾配評価と平均値不等式を導出する。
• $oldsymbol{ ho}$-スプリット写像と過剰推定を用いて、接コーンと特異集合の構造を分析する。
• アニュラ体積比較と反復不等式を用いて、体積比のほぼ単調性を証明し、これにより計量コーンへの収束を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリッチ曲率条件のもとで、ポテンシャル関数の勾配が有界でない場合に、元の多様体上で体積比較と勾配評価を確立できるか？
• RQ2 修正されたリッチ曲率条件 $ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$ は、$| abla L|$ が有界でない場合でも、元の多様体上でビショップ＝グロモフ型の体積単調性をもたらすか？
• RQ3 ポテンシャル関数の勾配特異度が1に近い場合に、計量の退化に関する収束定理を、従来の要件よりも弱い仮定のもとで拡張できるか？
• RQ4 一般化された曲率条件を満たす多様体の列の接コーンが、従来の知られていた仮定よりも弱い仮定のもとで計量コーンとなるか？
• RQ5 本曲率枠組みのもとで、勾配リッチソリトンに限らず一般のリッチソリトンに対しても理論を適用できるか？

主な発見

• 一般化されたリッチ曲率条件 $ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$ のもとで、$| abla L|$ が有界でない場合でさえ、元の多様体上で体積比較定理が確立される。
• 従来の重み付き多様体手法よりも弱い仮定のもとで、ビショップ＝グロモフの精神に則った体積比 $rac{ ext{Vol}(B(x,r))}{ ext{Vol}( ext{B}_{ ext{model}}(r))}$ のほぼ単調性が証明される。
• 曲率および幾何的境界条件を満たす多様体の列に対して、接コーンが計量コーンであることが示され、[Co]、[ChCo2]、[TZ]、[WZ] の結果が拡張される。
• 極限空間における特異集合のサイズは制御され、曲率と次元に依存する一様な上界が得られる。
• 古典的な重み付き多様体理論が勾配を有界と仮定するのに対し、本手法ではポテンシャル関数における勾配特異度が $1 - rac{1}{n}$ まで許容される。
• ベクトル場 $V$ を曲率条件に直接用いることで、勾配リッチソリトンに限らず一般のリッチソリトンに対しても結果が適用可能となる。