[論文レビュー] New ways to multiply 3 x 3-matrices

Marijn J. H. Heule, Manuel Kauers+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正確に23個のスカラー乗算を用いた3×3行列乗算の、13,000個を超える新たな相互に同値でないスキームを提示している。これは、そのようなアルゴリズムの既知の集合を顕著に拡張するものである。SATソルバーやℤ₂上の代数的パラメータ化を用いて、最大17個の自由パラメータを有する、すべて整数係数である解の族を構築し、Brent方程式の解空間の次元が少なくとも17以上であることを証明した。

ABSTRACT

It is known since the 1970s that no more than 23 multiplications are required for computing the product of two 3 x 3-matrices. It is not known whether this can also be done with fewer multiplications. However, there are several mutually inequivalent ways of doing the job with 23 multiplications. In this article, we extend this list considerably by providing more than 13 000 new and mutually inequivalent schemes for multiplying 3 x 3-matrices using 23 multiplications. Moreover, we show that the set of all these schemes is a manifold of dimension at least 17.

研究の動機と目的

• 正確に23個のスカラー乗算を用いた3×3行列乗算スキームの既知の集合を体系的に拡張すること。
• 整数係数を有する新たなスキーム族を同定・生成し、任意の係数環に適用可能であることを保証すること。
• 3×3行列乗算のBrent方程式の解空間の次元を特定すること。
• 23乗算スキームにおける構造的単純化を分析することで、22乗算で実現可能なスキームが存在するかを調査すること。
• SATソルバーやℤ₂上の線形代数を用いた、行列乗算スキームのパラメータ化の体系的手法の開発と適用

提案手法

• 既知の解（例：Ladermanの解やCourtoisらの解）を出発点として、有限体ℤ₂上での有効な行列乗算スキームを探索するため、SATソルバを用いる。
• A、B、Cテンソルの要素を新規変数に置き換えることで、スキームに自由パラメータを体系的に導入し、得られる線形系を解く。
• グレブナー基底や変数置換などの代数的技法を用いて分母を除去し、得られた族のパラメータの独立性を検証する。
• 以前に生成されたスキームに対して、繰り返しパラメータ化プロセスを適用し、自由パラメータ数を増加させる。一部の族では最大17パラメータに到達した。
• 解をℤ₂から任意の係数環に持ち上げる際、双線形構造と整数係数を保持する。
• テンソル積算術を用いて、23乗算スキームのうち、A、B、Cテンソルの和項に線形依存性が存在する場合に、22乗算に単純化可能かどうかをテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確に23個のスカラー乗算を用いた3×3行列乗算スキームは、互いに同値でないものとして、いくつ存在するか？
• RQ2 23乗算と整数係数を有する3×3行列乗算スキーム族において、自由パラメータの最大数はいくつか？
• RQ3 A、B、Cテンソルの和項に線形依存性が存在する場合、23乗算スキームを22乗算に単純化できるか？
• RQ4 3×3行列乗算のBrent方程式が定義する解の多様体の次元はいくらか？
• RQ5 Ladermanらの解やCourtoisらの解に加え、{-1, 0, 1}の係数を有する3×3行列乗算スキームは、すでに発見されたもの以外に存在するか？

主な発見

• 著者らは、正確に23個のスカラー乗算を用いた、13,000個を超える新たな相互に同値でない3×3行列乗算スキームを発見した。
• すべての新規スキームは係数を{-1, 0, 1}に制限しており、分母を含まないため、分数係数を有する従来のスキームとは異なり、任意の係数環に適用可能である。
• 3×3行列乗算のBrent方程式の解空間の次元は、最大17個の独立パラメータを持つパラメータ族の存在によって、少なくとも17以上であることが示された。
• SATベースの探索と代数的パラメータ化を用いて、最大17パラメータの族を成功裏に構築したが、最終式には分母が存在しなかった。
• A、B、Cテンソルの和項に線形依存性が存在する場合、23乗算スキームを22乗算に単純化する試みはすべて失敗した。
• Ladermanの解、Courtoisらの解、Ohらの解、Smirnovの解に基づく新たな族が発見され、それぞれ0、6、10、14パラメータを有するものであり、従来の結果を顕著に拡張した。