[論文レビュー] Nijenhuis infinity and contractible dg manifolds

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Mar 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双曲的トータル空間に属する Nijenhuis テンソルの形式的芽を分類する最小の微分付き階数付き (dg) 操作 $N_{\infty}$ を導入する。この操作は、ホモロジカルに自明な dg リー代数の二次操作のコバービルト構成として得られ、最小の $N_{\infty}$-代数が可縮 dg 多様体とホモトピー同値であることを確立している。これにより、Nijenhuis 幾何学の強いホモトピー的一般化が得られる。

ABSTRACT

We find a minimal differential graded (dg) operad whose generic representations in $R^n$ are in one-to-one correspondence with formal germs of those endomorphisms of the tangent bundle to $R^n$ which satisfy the Nijenhuis integrability condition. This operad is of a surprisingly simple origin -- it is the cobar construction on the quadratic operad of homologically trivial dg Lie algebras. As a by product we obtain a strong homotopy generalization of this geometric structure and show its homotopy equivalence to the structure of contractible dg manifold.

研究の動機と目的

• 操作論的手法を用いて Nijenhuis 幾何学の強いホモトピー的一般化を構築すること。
• $\mathbb{R}^n$ 上の Nijenhuis テンソルの形式的芽を分類する最小の dg 操作を同定すること。
• $N_\infty$-代数と可縮 dg 多様体との間の対応関係を確立すること。
• 操作の最小的解体を用いて、複素構造や Nijenhuis 構造などの幾何的構造を含む変形理論の枠組みを拡張すること。

提案手法

• ホモロジカルに自明な dg リー代数の二次操作のコバービルト構成として、最小の dg 操作 $N_{\infty}$ を構成する。
• Nijenhuis 構造を、$J_k: \otimes^{k+1}V \to V$ と表される無限個の多重線形作用素の族として表現し、それらが二次関係を満たすようにする。
• $N_{\infty}$-構造を、形式的近傍 $\hat{V}$ 上の微分形式 $\Gamma$ を用いて定義し、$\mathcal{L}_{\eth}\Gamma + \frac{1}{2}[\Gamma \bullet \Gamma] = 0$ を満たすようにする。
• コバービルト構成を用いて、$\mathcal{M} = \hat{V} \oplus \hat{V}[-1]$ 上のホモロジー的ベクトル場 $\hat{\eth} = \Psi(\eth + \Gamma)$ を導出し、それが標準的微分 $d$ と可換であることを示す。
• $N_{\infty}$-代数と $d$ と可換な $\mathcal{M}$ 上のホモロジー的ベクトル場との間の一対一対応を確立し、可縮性の結果を導く。
• Kontsevich の $L_\infty$-代数の分類を応用し、最小の $N_{\infty}$-代数が線形可縮 dg 多様体と $L_\infty$-同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^n$ 上の Nijenhuis テンソルの形式的芽を分類する最小の dg 操作は何か？
• RQ2 操作的解体を用いて、Nijenhuis 統合条件を強いホモトピー的構造へ一般化できるか？
• RQ3 $N_{\infty}$-代数と dg 多様体のホモトピー理論との関係は何か？
• RQ4 $N_{\infty}$-構造と可縮 dg 多様体との間に標準的な対応関係があるか？
• RQ5 Nijenhuis 構造の変形理論は、操作の最小的解体によって完全に記述可能か？

主な発見

• 最小の dg 操作 $N_{\infty}$ は、ホモロジカルに自明な dg リー代数の操作のコバービルト構成として構成される。
• $N_{\infty}$ の一般表現は、$\mathbb{R}^n$ 上で $N_J = 0$ を満たす Nijenhuis テンソルの形式的芽と一対一対応する。
• $N_{\infty}$-構造は、$\mathcal{L}_{\eth}\Gamma + \frac{1}{2}[\Gamma \bullet \Gamma] = 0$ を満たす $\hat{V}$ 上の微分形式 $\Gamma$ によって符号化され、Nijenhuis 条件を一般化する。
• $N_{\infty}$-代数と $\mathcal{M} = \hat{V} \oplus \hat{V}[-1]$ 上で $d$ と可換なホモロジー的ベクトル場との間には一対一対応がある。
• 最小の $N_{\infty}$-代数は、線形可縮 dg 多様体と $L_\infty$-同型であり、強いホモトピー同値性が確立される。
• 任意の $N_{\infty}$-代数は、可縮 dg 多様体とホモトピー同値であり、$N_{\infty}$-代数のホモトピー理論が可縮 dg 多様体のホモトピー理論と同値であることが示された。