[論文レビュー] Node Expansions and Cuts in Gromov-hyperbolic Graphs.

Bhaskar DasGupta, Marek Karpiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Gromov-双曲的グラフにおけるノード拡張とカットサイズの構成的で多項式時間計算可能な境界を確立し、ソースノードとターゲットノードが対数的に分離されている場合、小さなカットと低拡張構造が存在することを証明する。これにより、サイズ制約付きカットのヒッティング集合に対する効率的なアルゴリズムが可能となり、Arora, Barak, and Steurer が当初提示した小集合拡張問題が多項式時間で解けるようになる。

ABSTRACT

Gromov-hyperbolic graphs (or, hyperbolic graphs for short) are a non-trivial interesting classes of non-expander graphs. Originally conceived by Gromov in 1987 in a different context while studying fundamental groups of a Riemann surface, the hyperbolicity measure for graphs has recently been a quite popular measure in the network science community in quantifying curvature and closeness to a tree topology for a given network, and many real-world networks have been empirically observed to be hyperbolic. In this paper, we provide constructive non-trivial bounds on node expansions and cut-sizes for hyperbolic graphs, and show that witnesses for such non-expansion or cut-size can in fact be computed efficiently in polynomial time. We also provide some algorithmic consequences of these bounds and their related proof techniques for a few problems related to cuts and paths for hyperbolic graphs, such as the existence of a large family of s-t cuts with small number of cut-edges when s and t are at least logarithmically far apart, efficient approximation of hitting sets of size-constrained cuts, and a polynomial-time solution for a type of small-set expansion problem originally proposed by Arora, Barak and Steurer.

研究の動機と目的

• Gromov-双曲的グラフにおけるノード拡張とカットサイズの非自明で構成的な境界を確立すること。
• 低拡張または小さなカットの証拠（witnesses）が双曲的グラフにおいて多項式時間で計算可能であることを示すこと。
• s-tカット、ヒッティング集合、および双曲的グラフにおける小集合拡張問題に関連するアルゴリズム的帰結を導出すること。
• Arora, Barak, and Steurer が当初提示した小集合拡張問題を、双曲的グラフの文脈で解くこと。
• 木に似た曲率を持つネットワーク、例えば現実世界のネットワークにおける効率的計算の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• グラフの双曲的性（hyperbolicity measure）を用いて、木に似た構造的性質や曲率を特徴づける。
• ソースノード（s）とターゲットノード（t）間の対数的分離を、カットサイズと拡張率の境界を導出するための主要パラメータとして用いる。
• 小さなカットや低拡張サブグラフの証拠を計算する多項式時間アルゴリズムを設計する。
• 双曲的幾何とグラフ理論的分解に基づく証明技法を用いて、拡張率およびカットサイズのパラメータを束縛する。
• 小集合拡張問題を、双曲的性を活用する構造に依存した分解に還元し、効率的な解決を図る。
• 導出された構造的境界を用いて、サイズ制約付きのヒッティング集合問題としてのカット問題を定式化・解法する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-双曲的グラフに対して、ノード拡張とカットサイズの非自明で構成的な境界を確立できるか？
• RQ2 双曲的グラフにおいて、小さなカットや低拡張サブグラフの証拠（witnesses）を多項式時間で計算できるか？
• RQ3 双曲的グラフにおけるカットと拡張の構造的境界から、どのようなアルゴリズム的帰結が生じるか？
• RQ4 s-tペアが対数的に分離していると、多くの小さなs-tカットが存在することが保証されるか？
• RQ5 Arora, Barak, and Steurer が提示した小集合拡張問題は、双曲的グラフにおいて多項式時間で解けるか？

主な発見

• Gromov-双曲的グラフに対して、非自明で構成的なノード拡張とカットサイズの境界が確立された。
• 小さなカットや低拡張サブグラフの証拠（witnesses）が多項式時間で計算可能であることが示された。
• sとtが少なくとも対数的に離れている場合、カットエッジが少ないs-tカットの多数が存在する。
• 双曲的グラフにおけるサイズ制約付きカットのヒッティング集合に対して、効率的な近似アルゴリズムが提供された。
• Arora, Barak, and Steurer が当初提示した小集合拡張問題が、双曲的グラフの文脈で多項式時間で解けた。
• 双曲的グラフの構造的性質が、カットやパスに関連する複数の基本的グラフ問題における効率的計算を可能にする。