[論文レビュー] Non-commutative geometry, dynamics, and infinity-adic Arakelov geometry

Caterina Consani, Matilde Marcolli|ArXiv.org|May 29, 2002

advanced mathematical theories参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、シュットキー群の極限集合上での力学的性質を用いて、算術的曲面の無限遠ファイバーをモデル化することで、アラケロフ幾何、双曲的力学、スペクトル三重項を結びつける非可換幾何的枠組みを確立する。有限型の部分シフトに付随するクンツ＝クライッヒャー代数上にスペクトル三重項を構成し、アーベルのゼータ因子がスペクトル三重項のゼータ関数から生じることを示し、フロベニウス作用素がグレーディング作用素として実現されることにより、算術コホモロジーのコホモロジカルおよび力学的アプローチを統一する。

ABSTRACT

In Arakelov theory a completion of an arithmetic surface is achieved by enlarging the group of divisors by formal linear combinations of the ``closed fibers at infinity''. Manin described the dual graph of any such closed fiber in terms of an infinite tangle of bounded geodesics in a hyperbolic handlebody endowed with a Schottky uniformization. In this paper we consider arithmetic surfaces over the ring of integers in a number field, with fibers of genus $g\geq 2$. We use Connes' theory of spectral triples to relate the hyperbolic geometry of the handlebody to Deninger's Archimedean cohomology and the cohomology of the cone of the local monodromy $N$ at arithmetic infinity as introduced by the first author of this paper.

研究の動機と目的

• デンジャーやマンインの非可換幾何的枠組みを用いて、無限遠点におけるファイバーの幾何的記述と、デンジャーラのアーベルコホモロジーを統一すること。
• シュットキー群の極限集合上での作用を用いて、無限遠ファイバーの双対グラフをモデル化する非可換空間上にスペクトル三重項を構成すること。
• スペクトル三重項のゼータ関数から、ゼータ関数のアーベル的L因子を回復すること。
• スペクトル三重項からのゼータ正則化行列式を用いて、アーベル的場における欠落しているガロア理論の可能性を探ること。

提案手法

• コンネスのスペクトル三重項形式を用いて、ハンドルボディの双曲的幾何とモノドロミー作用素Nのコホモロジーを関連付ける。
• SL(2,R)作用を用いて、コホモロジーのコーン上の極化されたレフシェッツモジュール構造からコホモロジカルスペクトル三重項を構成する。
• 無限遠ファイバーの双対グラフを、カントール集合上の力学系Tのマッピングトーラスとしてモデル化する。
• シフト作用素に付随するCuntz–Krieger代数OAとして非可換空間を実現し、有界測地線の力学的コチェインに上るスペクトル三重項を構成する。
• ディラック作用素がグレーディング作用素Φと一致することを定義し、これをアーベル的コホモロジー上でフロベニウス型作用素の対数として解釈する。
• ルエールのゼータ関数と移行作用素のスペクトル理論を用いて、極限集合上の力学と算術ゼータ関数との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何におけるスペクトル三重項のゼータ関数から、L関数のアーベル的ゼータ因子を回復できるか？
• RQ2 シュットキー群の極限集合上での力学系は、アラケロフ理論における無限遠ファイバーの構造をどのように符号化するか？
• RQ3 モノドロミー作用素Nと力学的写像1−Tとの間に、コホモロジーの双対性同型が存在するか？
• RQ4 アラケロフ幾何における「無限大での還元」は、非可換位相におけるホモトピー商として記述可能か？
• RQ5 算術的無限大におけるスペクトル三重項は、スタークの予想が示唆するように、欠落しているアーベル的場におけるガロア理論の枠組みを提供するか？

主な発見

• コホモロジカルスペクトル三重項のゼータ関数は、L関数のアーベル的因子の交代積を再現する。
• スペクトル三重項におけるディラック作用素は、グレーディング作用素Φに同定され、これはアーベル的コホモロジー上でフロベニウス型作用素の対数として作用する。
• 無限遠ファイバーの力学的コホモロジーは、アーベル的コホモロジーを部分空間として含み、実フロベニウスF̄∞と整合する作用を有する。
• Nのコーンのコホモロジーにおける双対性同型は、力学的ホモロジーとコホモロジーのペアリングを示し、Nと1−Tとの間の双対性を示唆する。
• ルエールのゼータ関数ZΓ(s)は、双曲的ハンドルボディのセレブグゼータ関数と関係し、極は極限集合ΛΓの一般化された次元スペクトルに対応する。
• 本構成は、スペクトル三重項のゼータ正則化行列式を用いて、アーベル的場における欠落しているガロア理論の候補枠組みを提供する。