[論文レビュー] Non-Commutative Mechanics as a modification of space-time

Carlos A. Vaquera-Araujo, M, J. L. Lucio|ArXiv.org|Dec 19, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換性をガリレオ代数の中心拡大として埋め込み、位置演算子をブースト生成子と同一視することにより、2次元における非可換な古典的および量子力学を定式化する。非正準変換を避ける一貫性のある枠組みを提供し、自由粒子および調和振動子の厳密解を導出し、低温領域において非可換性パラメータ$ theta$とともにエントロピーが増加することを示し、空間的曖昧性の直感的な期待を裏付ける。

ABSTRACT

We formulate non-relativistic classical and quantum mechanics in the non-commutative two dimensional plane. The approach we use is based on the Galilei group, where the non-commutativity is seen as a central extension upon identification of the boost generators with the position operator. We perform a systematic study of the free particle, defined by the symmetries of the space time, which include the no-commutativity. The symmetries at the classical level are analyzed in terms of Noether's theorem. Canonical quantization is presented and the representation of the corresponding Heisenberg algebra is obtained. The path integral representation and Wigner distribution function in phase space are also discussed. We work out, both at the classical and at the quantum level, the harmonic oscillator, avoiding the use of the conventional non-canonical transformation that leads to a momentum dependent potential. We use Einsteins' model for a solid to corroborate that, according with intuition, as a consequence of the space fuzziness the entropy is a growing function of $θ$ in the low temperature regime.

研究の動機と目的

• ガリレオ群に基づく非可換力学の一貫性ある定式化を確立し、非可換性を時空の内在的性質として扱う。
• 物理的解釈を変える非正準変換を回避し、元の力学が保存されるようにする。
• 非可換性パラメータ$ theta$の級数展開を用いずに、自由粒子および調和振動子の厳密な古典的および量子的解を導出する。
• 2次元非可換結晶の熱力学的性質をアインシュタインの固体模型を用いて分析し、エントロピーが$ theta$に依存する様子に注目する。

提案手法

• ガリレオ群を用いて非可換力学を定式化し、ブースト生成子を位置演算子と同一視することで、ポisson代数における非可換性を誘導する。
• ハミルトニアン形式および1次ラグランジュ形式を用い、第二種制約系と同等であることを示す。
• ネーターの定理を適用し、対称性から保存量を導出し、ガリレオ相対性と整合することを保証する。
• 正準量子化を行い、ヘイゼンベルク代数の表現を$(p_x,p_y)$、$(x,p_y)$、$(p_x,y)$の複数の基底で構築し、基底変換も含む。
• 4次元非可換位相空間における経路積分およびウィグナー関数形式を用いて、量子力学的ダイナミクスを分析する。
• 2次元結晶をアインシュタインの固体模型でモデル化し、温度および$ theta$の関数としてエントロピーを計算し、非可換補正を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換力学はガリレオ群内でどのように一貫して定式化可能か。特に時空対称性と整合するか。
• RQ2 非正準変換を用いずに、2次元非可換平面における自由粒子および調和振動子の厳密な古典的および量子的ダイナミクスはどのように得られるか。
• RQ3 低温領域において非可換性は、エントロピーおよび内部エネルギーなどの熱力学的量にどのように影響を与えるか。
• RQ4 非可換性パラメータ$ theta$は、調和振動子の位相空間構造および対称性代数にどのように寄与するか。
• RQ5 ウィグナー関数および経路積分形式は、4次元非可換位相空間へどのように一貫して拡張可能か。

主な発見

• 非正準変換を用いずに非可換調和振動子のハミルトニアンが導出され、系の物理的解釈が保存された。
• 高温極限における内部エネルギーは、古典的等分配則の結果$U_{kT\gg\hbar\omega} = 2NkT + \mathcal{O}(1/T)$に回復し、$ theta$に依存する補正項を含む。
• 絶対零度極限では基底状態エネルギーは$U_{T\to 0} = N\hbar\omega\sqrt{1 + \frac{m^2\omega^2\theta^2}{4}}$となり、$ theta$に依存する基底状態の分裂が示される。
• 比熱容量$C_V$は高温領域で古典的値$2kN$に回復し、$1/T^2$のオーダーで$ theta$に依存する補正項を含む。これにより等分配則との整合性が確認される。
• 低温領域においてエントロピーは$ theta$とともに増加し、特に$ theta \sim (m\omega)^{-1}$のとき顕著になる。これは空間的曖昧性がエントロピーを増大させることを示唆する。
• ヘイゼンベルク代数の非同値な表現が系に現れ、ゲージ場が代数的構造から自然に導かれる。これは多様体が連結でない場合に有効である。