[論文レビュー] Non-Compact Geometries in 2D Euclidean Quantum Gravity

J.A. Gesser|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、2次元ユークリッド量子重力における非コンパクト幾何学を、Liouville理論に結合された(p,q)最小模型におけるFZZT-FZZTシリンダー振幅を分析することによって調査する。非可換なZZ境界条件が、物質自由度を統合した後、有効な境界条件として出現することを示し、動的三角形分割のスケーリング極限において、(1,1)カーディ境界条件のみが残ることを示し、シリンダー振幅における無限距離でのFZZTからZZブレインへの遷移の証拠を提示する。

ABSTRACT

This thesis discusses the worldsheet geometries in the (p,q) minimal model coupled to 2D euclidean Quantum Gravity with particular focus on non-compact geometries. We first calculate the FZZT-FZZT cylinder amplitudes for all pairs of Cardy matter states thereby generalizing the result obtained in arXiv:hep-th/0406030 and discuss the decompositions of the cylinder amplitudes in terms of solutions to the homogeneous Wheeler-DeWitt equation. We then show, that the principal ZZ boundary conditions in Liouville theory can be viewed as effective boundary conditions obtained by integrating out the matter degrees of freedom on the worldsheet. We now consider the (2,2m-1) minimal model coupled to 2D euclidean Quantum Gravity obtained in the scaling limit of dynamical triangulations, in which the mth multi-critical hyper-surface is approached and the conformal background is turned on. We show, that only one concrete realization of matter boundary condition, the (1,1) Cardy boundary condition, is obtained in this scaling limit. Finally, we study the cylinder amplitude with fixed distance and provide some evidence of a transition from a FZZT-brane to a ZZ-brane on the exit loop in the limit, where the distance approaches infinity, and for particular values of the exit-boundary cosmological constant.

研究の動機と目的

• 非コンパクト幾何学が2次元ユークリッド量子重力に果たす役割を理解すること、特にLiouville理論と境界状態の文脈において。
• 2次元ユークリッド量子重力に結合された(p,q)最小模型における、すべてのカーディ物質状態のペアに対するFZZT-FZZTシリンダー振幅を一般化すること。
• 世界面における物質自由度を統合した後、Liouville理論における主なZZ境界条件がどのように有効境界条件として出現するかを調査すること。
• (2,2m−1)最小模型における動的三角形分割のスケーリング極限を分析し、どの物質境界条件が実現されるかを同定すること。
• 固定された距離におけるシリンダー振幅を研究し、世界面距離が無限に近づく際にFZZTブレインからZZブレインの性質への遷移が生じる証拠を提供すること。

提案手法

• 2次元ユークリッド量子重力に結合された(p,q)最小模型における、すべてのカーディ状態のペアに対するFZZT-FZZTシリンダー振幅を、コンformal field theoryの技術を用いて導出する。
• 境界状態形式を用いてLiouville理論におけるFZZTおよびZZ境界状態を構築し、演算子積展開およびヴェルマモジュール構造を用いてそれらの性質を分析する。
• ミニ・スーパースペース近似と半古典的解析を用いて、Liouville理論のスペクトルとWheeler-DeWitt方程式との関係を研究する。
• 世界面距離が無限に近づく極限におけるシリンダー振幅の詳細な漸近的解析を実施し、1点関数および境界状態重ね合わせの振る舞いに注目する。
• 複素解析およびリウヴィルの定理を用いて、正則関数の間の関数的恒等式を証明し、特別な条件（k=l=1, rq−sp≠0）の下で、特定の三角関数および指数関数的項の組み合わせが等価であることを確立する。
• 動的三角形分割のスケーリング極限を、m番目のマルチクリティカル点の近傍で分析し、連続極限において(1,1)カーディ境界条件のみが実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元量子重力に結合された(p,q)最小模型における、FZZT-FZZTシリンダー振幅は、同次Wheeler-DeWitt方程式の解の観点からどのように分解されるか？
• RQ2 Liouville理論における主なZZ境界条件は、世界面における物質自由度を統合した後に生じる有効境界条件として解釈可能か？
• RQ3 2次元ユークリッド量子重力に結合された(2,2m−1)最小模型における、動的三角形分割のスケーリング極限で、どの物質境界条件が選択されるか？
• RQ4 世界面距離が無限に近づく際に、シリンダー振幅がFZZTブレインからZZブレインの性質へと遷移するか？また、その遷移はコスモロジカル定数のどのような条件下で発生するか？
• RQ5 シリンダー振幅と境界状態波動関数の間の正確な関数的関係は何か？また、極や留数といった解析的性質が解にどのように制約を加えるか？

主な発見

• 2次元ユークリッド量子重力に結合された(p,q)最小模型における、すべてのカーディ物質状態のペアに対するFZZT-FZZTシリンダー振幅が計算され、従来の結果が一般化された。
• Liouville理論における主なZZ境界状態が、世界面における物質自由度を統合した後、有効境界条件として出現することが示された。
• 動的三角形分割のスケーリング極限がm番目のマルチクリティカル点に近づく際、(1,1)カーディ境界条件のみが実現され、境界条件の選択機構が示された。
• 世界面距離が無限に近づく際、シリンダー振幅においてFZZTブレインからZZブレインの性質への遷移の証拠が得られた。特に、出口境界のコスモロジカル定数の特定の値に対して成立する。
• k=l=1およびrq−sp>0の特別な場合において、差が整関数かつ有界であることを示した後、リウヴィルの定理を用いてf(z)がh₁(z)に等しいことが証明された。比例定数はt→∞の極限で消える。
• 同様に、k=l=1およびrq−sp<0の場合は、f(z)がh₂(z)に等しいことが示され、これらの条件下での関数的恒等式が確認された。