[論文レビュー] Non-equilibrium steady state formation in 3+1 dimensions

Christian Ecker, Johanna Erdmenger+1 more|Publication Server of Goethe University Frankfurt am Main (Goethe University Frankfurt)|Mar 18, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 107被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、強い結合 $χ=4$ SYM理論を用いて、3+1次元における非平衡定常状態（NESS）形成の最初のホログラフィックシミュレーションを提示する。異なる温度と化学ポテンシャルを持つ2つの熱的バスタイを接続することで、冷たいバストに向かって移動するショック波と、暑いバストに向かって移動する希薄化波が形成され、一定の温度と流れの速度を持つ定常状態領域が形成される。この領域はショック波＋希薄化波解として正確に記述される。NESSでは電荷密度に滑らかなクロスオーバーが見られ、接触不連続性に類似している。また、エンタングルメントエントロピーはエネルギー密度の変化をよく追跡する。

ABSTRACT

We present the first holographic simulations of non-equilibrium steady state formation in strongly coupled $\mathcal{N}=4$ SYM theory in 3+1 dimensions. We initially join together two thermal baths at different temperatures and chemical potentials and compare the subsequent evolution of the combined system to analytic solutions of the corresponding Riemann problem and to numeric solutions of ideal and viscous hydrodynamics. The time evolution of the energy density that we obtain holographically is consistent with the combination of a shock and a rarefaction wave: A shock wave moves towards the cold bath, and a smooth broadening wave towards the hot bath. Between the two waves emerges a steady state with constant temperature and flow velocity, both of which are accurately described by a shock+rarefaction wave solution of the Riemann problem. In the steady state region, a smooth crossover develops between two regions of different charge density. This is reminiscent of a contact discontinuity in the Riemann problem. We also obtain results for the entanglement entropy of regions crossed by shock and rarefaction waves and find both of them to closely follow the evolution of the energy density.

研究の動機と目的

• 3+1次元の強い結合量子場理論における非平衡定常状態（NESS）の形成を調査すること。
• 相対論的流体力学で観察されたショック波＋希薄化波のシナリオが、ホログラフィックで強い結合系においても成立するかを確認すること。
• エンタングルメントエントロピーがショック波や希薄化波といった動的特徴をどのように追跡するかを分析すること。
• 初期条件や数値パラメータを変化させた場合の、NESS形成メカニズムの頑健性をテストすること。
• 接触不連続性に類似した、NESS領域内での電荷密度の滑らかなクロスオーバーの出現を探索すること。

提案手法

• ゲージ/重力双対性を用いて、3+1次元の強い結合 $χ=4$ SYM理論を、5次元の漸近的にAdSな時空における古典的重力に写像する。
• 双対重力方程式を数値的に進める。これにより、異なる温度と化学ポテンシャルを持つ2つの熱的バスタイの結合系の非平衡ダイナミクスをシミュレートする。
• エネルギー密度および電荷密度のホログラフィック時間発展を、リーマン問題の解析解および理想流体・粘性流体の数値解と比較する。
• Hubeny-Rangamani-Takayanagiの手続きを用いて、ボトムジオメトリ内の極小表面からホログラフィックエンタングルメントエントロピーを計算する。
• 初期界面の傾き（$ anh(cz)$ を用いて）を変化させることで感度解析を実施し、数値的安定性と収束性を評価する。
• 定常温度バストにおける電荷拡散を分析し、ショック/希薄化ダイナミクスと対比し、拡散幅が $\sqrt{t}$ のスケーリングに従うことを定量的に評価する。

Figure 1: Energy density (left) and charge density (right) of the double shock solution. The energy plot on the left shows the two heat baths and the NESS region. The charge plot displays the additional contact discontinuity that is absent for the middle value of $\chi$ given.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる温度と化学ポテンシャルを持つ2つの熱的バスタイを結合した場合、3+1次元の強い結合 $χ=4$ SYM理論において非平衡定常状態（NESS）が形成されるか？
• RQ2 3+1次元におけるNESS構造は、相対論的流体力学が予測するようにショック波と希薄化波で特徴づけられるか、それとも高次元効果により異なるか？
• RQ3 ホログラフィックエンタングルメントエントロピーはショック波や希薄化波にどのように応答するか。また、エネルギー密度ダイナミクスを追跡するか？
• RQ4 NESS領域内での電荷密度プロファイルの性質は何か。不連続性を示すか、それとも滑らかなクロスオーバーを示すか？
• RQ5 初期界面の傾きの変更に対して数値シミュレーションは頑健か。極端な初期条件における数値的安定性の限界は何か？

主な発見

• エネルギー密度のホログラフィック時間発展は、ショック波＋希薄化波シナリオと一致する。冷たいバストに向かってショック波が伝播し、暑いバストに向かって滑らかな希薄化波が伝播する。
• 波の間の定常状態領域では、温度と流れの速度が一定であり、リーマン問題の解析解と整合的である。
• 電荷密度はNESS領域内で滑らかなクロスオーバーを示し、接触不連続性に類似している。初期の電荷密度の違いにもかかわらず、急激なジャンプは見られない。
• ホログラフィックエンタングルメントエントロピーはエネルギー密度の変化をよく追跡しており、エンタングルメントと局所的エネルギーダイナミクスとの強い相関を示している。
• 初期界面の傾きの変更に対してもシミュレーション結果は頑健であり、$mt \gtrsim 4$ で収束が確認され、初期条件の詳細に依存しないことが示された。
• 非常に小さい初期エネルギー密度比（$\chi \ll 1$）では数値的不安定性が生じ、物理的不安定性または数値的制限の可能性を示唆しており、さらなる検討が求められる。

Figure 2: (left) The velocities of the steady state flow ( $v_{S})$ , and the left- and right-moving shock velocities $v_{C}$ and $v_{H}$ in comparison to the sound velocity $c_{s}$ for $d=3$ according to Eqn. ( 2.1 ). (right) Change in entropy across the left and right moving shock waves, as functi