[論文レビュー] Non-FPT lower bounds for structural restrictions of decision DNNF

Andrea Calı̀, Florent Capelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、構造的決定DNNFおよび∧d-OBDDに対する非FPT下界を確立し、これら知識コンpilation形式が、有界インシデント木幅をもつCNF論理式を効率的に表現できないことを示している。これは、このような論理式がFPT時間で解けるにもかかわらず、その事実を裏付ける。この結果は、知識コンpilationにおける主木幅とインシデント木幅の間の根本的なパrameterized複雑性の分離を明らかにし、DPLLの総当たり的実装に依存する実用的SATソルバの限界についての未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We give a non-FPT lower bound on the size of structured decision DNNF and OBDD with decomposable AND-nodes representing CNF-formulas of bounded incidence treewidth. Both models are known to be of FPT size for CNFs of bounded primal treewidth. To the best of our knowledge this is the first parameterized separation of primal treewidth and incidence treewidth for knowledge compilation models.

研究の動機と目的

• 構造的制限をもつ決定DNNFが、有界インシデント木幅をもつCNF論理式を効率的に表現できるかどうかを調査すること。
• そのようなDNNF表現に依存する総当たりDPLLベースのツールが、インシデント木幅によって tractable である論理式を効率的に処理できるかどうかを特定すること。
• 知識コンpilationモデルにおける主木幅とインシデント木幅の間のパラメータ化複雑性の分離を確立すること。
• 有界インシデント木幅の論理式が、FPTサイズの構造的DNNFや∧d-OBDDで表現できないことを証明すること。これは、元の問題がFPT時間で解けるにもかかわらずである。

提案手法

• 有界木幅かつ次数が5以下であるグラフGから導かれるCNF論理式F²_Gの族を構築し、k′ = ⌊(k−3)/2⌋として、インシデント木幅が2k′+3以下であることを示す。
• Gの木分解を用いて、F²_Gの有効なインシデント木分解を構築し、インシデント木幅が有界であることを証明する。
• 定理19を適用して、頂点uと、任意の変数順序の線形拡張においてuの周囲にすべての辺が順序付けられるような大きなマッチングMが存在することを示す。
• 任意の線形順序<について、V¹ ∪ V²上で、定理18の条件を満たすサイズΩ(k log n)の大きな誘導マッチングM′がF²_Gに存在することを証明する。
• 定理18を活用して、F²_Gの任意の∧d-OBDDのサイズに2^{|M|/2−1}の下界を導出し、これによりn^{Ω(k)}の下界を得る。
• 類似のマッチングに基づく議論を用いて、構造的DNNFに対しても同様の議論を拡張し、FPTサイズの表現が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的決定DNNFは、有界インシデント木幅をもつCNF論理式を効率的に表現できるか？
• RQ2 有界インシデント木幅をもつCNF論理式の∧d-OBDD表現は、FPTサイズの境界を満たすか？
• RQ3 知識コンpilationモデルにおいて、主木幅とインシデント木幅の間にはパラメータ化複雑性の分離が存在するか？
• RQ4 DNNFコンパイルに依存する総当たりDPLLベースのSATソルバは、インシデント木幅によって tractable である論理式を効率的に処理できるか？

主な発見

• 任意のkに対して、インシデント木幅kをもつCNF論理式の無限族が存在し、その構造的決定DNNF表現はサイズ|F|^{Ω(k)}を要する。
• 同じ論理式族について、∧d-OBDD表現に対してもサイズ|F|^{Ω(k)}を要する。これは非FPT下界を確立する。
• 下界は、任意の変数順序において、インシデントグラフ内にサイズΩ(k log n)の大きな誘導マッチングMが存在することに起因する。
• 構成では、次数が5以下である木幅k′のグラフGを用い、これによりF²_Gのインシデント木幅が2k′+3 ≤ kに有界であることを保証する。
• この結果は、有界インシデント木幅の論理式がFPT時間で解けるにもかかわらず、FPTサイズの構造的DNNFや∧d-OBDDにコンパイルできないことを示している。
• これは、知識コンpilationにおける主木幅とインシデント木幅の間の最初のパラメータ化複雑性の分離を提供し、構造的制限における根本的な非対称性を強調する。