[論文レビュー] Connecting Width and Structure in Knowledge Compilation (Extended Version)

Antoine Amarilli, Mikaël Monet+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Machine Learning and Algorithms参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、木分解とMSO論理を活用して、有界な木幅を持つブール回路を決定的かつ構造的DNNF（d-SDNNF）に線形時間でコンパイルするアルゴリズムを提示する。主な貢献は、回路の等価性を保ちつつ、クエリ評価を容易にする構成であり、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ k $ を木幅として、実行時間の複雑さが $ O(|T| \times 2^{(4+\varepsilon)k}) $ である。

ABSTRACT

Several query evaluation tasks can be done via knowledge compilation: the query result is compiled as a lineage circuit from which the answer can be determined. For such tasks, it is important to leverage some width parameters of the circuit, such as bounded treewidth or pathwidth, to convert the circuit to structured classes, e.g., deterministic structured NNFs (d-SDNNFs) or OBDDs. In this work, we show how to connect the width of circuits to the size of their structured representation, through upper and lower bounds. For the upper bound, we show how bounded-treewidth circuits can be converted to a d-SDNNF, in time linear in the circuit size. Our bound, unlike existing results, is constructive and only singly exponential in the treewidth. We show a related lower bound on monotone DNF or CNF formulas, assuming a constant bound on the arity (size of clauses) and degree (number of occurrences of each variable). Specifically, any d-SDNNF (resp., SDNNF) for such a DNF (resp., CNF) must be of exponential size in its treewidth; and the same holds for pathwidth when compiling to OBDDs. Our lower bounds, in contrast with most previous work, apply to any formula of this class, not just a well-chosen family. Hence, for our language of DNF and CNF, pathwidth and treewidth respectively characterize the efficiency of compiling to OBDDs and (d-)SDNNFs, that is, compilation is singly exponential in the width parameter. We conclude by applying our lower bound results to the task of query evaluation.

研究の動機と目的

• ブール回路を決定的かつ構造的なDNNF（d-SDNNF）にコンパイルする手法を開発すること。
• 有界な木幅が与えられた場合、入力回路のサイズに対して線形時間でコンパイルが実行可能であることを保証すること。
• 木分解の幅と知識コンパイル回路の構造的性質との間の関係を確立すること。
• 線形時間でコンパイルされた回路を用いて、効率的な確率的推論とクエリ評価を可能にすること。

提案手法

• 木幅と構造を保ちつつ、2つより多くの子を持つノードに対してチェーン置換を用いて、任意の木分解を二分木、完全かつ良い形に変換する。
• 良い木分解の各バッグを対応するvツリーのノードにマッピングすることで、結果のd-SDNNF用のvツリーを構築する。
• ゲートタイプ、ワイヤー、真理値割り当ての関係を含む、関係スキーマ $\sigma$ を定義して、回路を関係インスタンスに符号化する。
• 存在的に真のゲートの集合を推測することで、与えられた割り当て下での回路評価をチェックするMSO論理式 $\varphi$ を定式化する。
• 既知の結果を用いて、関係インスタンス上で $\varphi$ のプロビジョニングを捉えるd-SDNNF $C'$ を線形時間で計算する。
• 非真の事実の入力値を修正するために $C'$ を変更し、元の回路と等価であり、かつd-SDNNFのままの $C''$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な木幅が与えられた場合、ブール回路を回路サイズに線形時間でd-SDNNFにコンパイルすることは可能か？
• RQ2 木分解の幅をどのように活用することで、d-SDNNFの構造的性質（決定性や分解可能性）を保証できるか？
• RQ3 ハイパーグラフにおけるパス幅、次数、パス構造幅の間にはどのような関係があり、それが回路コンパイルにどのように影響するか？
• RQ4 元の回路とコンパイルされたd-SDNNFとの間の等価性を維持しつつ、効率的な確率的推論を可能にするのは可能か？

主な発見

• 本稿では、任意のブール回路を、有界な木幅をもつd-SDNNFに線形時間でコンパイルするアルゴリズムを提示する。実行時間の複雑さは、$ k $ を回路の木分解の木幅として、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ O(|T| \times 2^{(4+\varepsilon)k}) $ である。
• 構成により、得られるd-SDNNFは決定的かつ構造的であり、良い木分解から導かれるvツリーを持つ。
• この方法は回路の意味論を保つ：任意の割り当て $ \nu $ に対して、$ C'' $ が真に評価されるのは、元の回路 $ C $ が $ \nu $ に対して真に評価されるときのみである。
• バイナリゼーション、正規化、完全性の強制の全変換において、元の木分解の幅が維持される。
• 証明により、各バッグあたり導入されるゲート数は $ 2^{O(k)} $ で有界であることが示され、木幅に依存する指数的要因が最小限に抑えられている。
• 本稿では $ \mathrm{psw}(H) \leq \mathrm{degree}(H) \times (\mathrm{pw}(H) + 1) $ を証明し、ハイパーグラフにおけるパス構造幅の有用な上限を提供する。