[論文レビュー] Non-hyperbolic Iterated Function Systems: attractors and stationary measures

Edgar Matias, Lorenzo J. Díaz|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反復関数系（IFS）の非双曲的性質を弱く双曲的列に注目することで分析するフレームワークを導入する。弱く双曲的列とは、反復写像の直径が0に収束するような列である。このようなIFSが一意な厳密な吸引子を持つための条件を確立し、符号写像による像の閉包としてのターゲット集合を特徴づける。主な貢献は、バーンズレー＝ハッチンソン作用素の全空間的吸引固定点の存在について、双曲的でない設定にまで古典的結果を拡張した必要十分条件を特定することにある。

ABSTRACT

We consider iterated function systems $\mathrm{IFS}(T_1,\dots,T_k)$ consisting of continuous self maps of a compact metric space $X$. We introduce the subset $S_{\mathrm{t}}$ of {\emph{weakly hyperbolic sequences}} $ξ=ξ_0\ldotsξ_n \ldots \in Σ_k^+$ having the property that $\bigcap_n T_{ξ_{0}}\circ\cdots\circ T_{ξ_{n}}(X)$ is a point $\{π(ξ)\}$. The target set $π(S_{\mathrm{t}})$ plays a role similar to the semifractal introduced by Lasota-Myjak. Assuming that $S_{\mathrm{t}} e \emptyset$ (the only hyperbolic-like condition we assume) we prove that the IFS has at most one strict attractor and we state a sufficient condition guaranteeing that the strict attractor is the closure of the target set. Our approach applies to a large class of genuinely non-hyperbolic IFSs (e.g. with maps with expanding fixed points) and provides a necessary and sufficient condition for the existence of a globally attracting fixed point of the Barnsley-Hutchinson operator. We provide sufficient conditions under which the disjunctive chaos game yields the target set (even when it is not a strict attractor). We state a sufficient condition for the asymptotic stability of the Markov operator of a recurrent IFS. For IFSs defined on $[0,1]$ we give a simple condition for their asymptotic stability. In the particular case of IFSs with probabilities satisfying a "locally injectivity" condition, we prove that if the target set has at least two elements then the Markov operator is asymptotically stable and its stationary measure is supported in the closure of the target set.

研究の動機と目的

• 双曲的IFSに関する古典的結果を、収縮領域と拡張領域を併せ持つ真に非双曲的系へと拡張すること。
• グローバルな一様収縮性を欠くIFSにおける吸引子と定常測度の構造を特徴づけること。
• 非双曲的性質がある中でもバーンズレー＝ハッチンソン作用素が一意な全空間的吸引子を持つための条件を同定すること。
• マルコフ作用素の漸近的安定性および混沌のゲームがターゲット集合に収束するための十分条件を確立すること。
• 非双曲的設定におけるターゲット集合、その閉包、および厳密吸引子とコンリー吸引子の存在との関係を明確にすること。

提案手法

• 反復写像の直径が $ n \to \infty $ のとき0に収束するような列 $ \xi \in \Sigma_k^+ $ の集合 $ S_{\mathrm{t}} \subset \Sigma_k^+ $ を定義する。
• 符号写像 $ \pi $ による $ S_{\mathrm{t}} $ の像としてのターゲット集合 $ A_{\mathrm{t}} = \pi(S_{\mathrm{t}}) $ を定義する。
• バーンズレー＝ハッチンソン作用素 $ \mathcal{B}_{\mathfrak{F}} $ の連続性を用いて、コンパクト集合上での反復の収束を解析し、吸引子を特徴づける。
• 位相的および測度論的技法を用いて、マルコフ作用素の漸近的安定性と定常測度を研究する。
• 記号的力学と残渣集合の議論を用いて、$ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ ならば $ S_{\mathrm{t}} $ が $ \Sigma_k^+ $ において残渣的であることを示し、完全な弱双曲性がなくても成立することを示す。
• 区間 $[0,1]$ 上の明示的例を構成し、$ A_{\mathrm{t}} \subsetneq \overline{A_{\mathrm{t}}} $ または $ A_{\mathrm{t}} = \overline{A_{\mathrm{t}}} = [0,1] $ となる場合を示し、合成写像における局所的単射性と収縮性の役割を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双曲的IFSが一意な厳密吸引子を持つための条件は何か？
• RQ2 ターゲット集合 $ A_{\mathrm{t}} $ がその像の閉包に等しくなるのはいつで、その真部分集合となるのはいつか？
• RQ3 ターゲット集合が厳密吸引子でない場合でも、混沌のゲームがターゲット集合に収束するための条件は何か？
• RQ4 再帰的IFSのマルコフ作用素が漸近的に安定であるための条件は何か？
• RQ5 局所的単射写像を持つIFSにおいて、定常測度の台とターゲット集合の閉包との関係は何か？

主な発見

• $ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ ならば、IFSは高々一つの厳密吸引子しか持たず、十分条件により厳密吸引子がターゲット集合 $ A_{\mathrm{t}} $ の閉包に一致することが保証される。
• バーンズレー＝ハッチンソン作用素が全空間的吸引固定点を持つための必要十分条件は、$ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ かつターゲット集合がIFSに関して不変であることである。
• $[0,1]$ 上のIFSに対しては、写像の収縮・拡張挙動に関する簡単な条件が、マルコフ作用素の漸近的安定性を保証する。
• IFSが「局所的単射性」を満たし、$ A_{\mathrm{t}} $ が少なくとも2点以上を含むならば、マルコフ作用素は漸近的に安定であり、その定常測度は $ \overline{A_{\mathrm{t}}} $ に台を持つ。
• 例6.2では、$ A_{\mathrm{t}} $ は $[0,1]$ で稠密であるが $ 1 \notin A_{\mathrm{t}} $ であるため、$ A_{\mathrm{t}} \subsetneq \overline{A_{\mathrm{t}}} $ であることが示された。
• 例6.3では、$ A_{\mathrm{t}} = [0,1] $ であるため、弱く双曲的でないIFSですら、特定の合成写像が一様に収縮する場合、ターゲット集合の閉包が全空間に達することが示された。