[論文レビュー] Non Jordan groups of diffeomorphisms and actions of compact Lie groups on manifolds

Ignasi Mundet-i-Riera|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、トーラスと有効な SU(τ) 行動をもつ多様体の積として得られるコンパクト多様体——特に、微分同相群がジョーダン的でないことを示すために、Heisenberg 型の p-群がトーラス上の主バンドルに作用する方法を用いて、任意に大きな p-群に対して、アーベル部分群が群のサイズに比べて小さいことを示し、元の T²×S² の例を超えた高次元多様体における非ジョーダン的性質を証明している。

ABSTRACT

A recent preprint of Csikós, Pyber and Szabó (arXiv:1411.7524) proves that the diffeomorphism group of $T^2 imes S^2$ is not Jordan. The purpose of this paper is to generalize the arguments of Csikós, Pyber and Szabó in order to obtain many other examples of compact manifolds whose diffeomorphism group fails to be Jordan. In particular we prove that for any $ε>0$ there exist manifolds admitting effective actions of arbitrarily large $p$-groups $Γ$ all of whose abelian subgroups have at most $|Γ|^ε$ elements. Finally, we also recover some results on nonexistence of effective actions of compact connected semisimple Lie group on manifolds.

研究の動機と目的

• 微分同相群の非ジョーダン的性質を、元の T²×S² の例を超えて、より広いクラスのコンパクト多様体へ拡張すること。
• 群の位数に対してアーベル部分群が小さいような、任意に大きな p-群の有効作用を持つ多様体を構成すること。
• Csikós、Pyber、Szabó の手法を主バンドル構造とトーラス上のシンプレクティック形式を用いて一般化すること。
• 特定の多様体上でのコンパクト連結単純なリー群の有効作用の非存在を回復すること。

提案手法

• T^{2nr}×X 上に、トーラス T^{2nr} 上の主 SU(τ(n))^{r}-バンドル上で定義されたコサイクルを用いて、有効に作用する有限 p-群 Γ（位数 p^{2n+r}）を構成する。
• Z_p^{2n} 上のシンプレクティック形式構造を用いて、Γ ⊂ (Γ_{n,p})^r となる部分群を定義し、アーベル部分群のサイズを制御する。
• 元の SU(τ(n))^{r}-作用の核 H に対して p ∤ |H| であることを要請することで、作用の有効性を保証する。
• コサイクル条件 c(γ'γ,θ) = c(γ',γθ)c(γ,θ) を用いて、積空間上の一貫した群作用を定義する。
• Olshanskii の補題を適用し、r 個のシンプレクティック形式上で同時に固定点をもつことがないよう、大きなアーベル部分群が存在しないように保証する。
• Γ-不変構造を用いて、多様体 T^{2nr}×X を自明な SU(τ(n))^{r}-バンドルの商として特定し、作用を引き上げることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相群の非ジョーダン的性質は、T²×S² を超えて他のコンパクト多様体へ拡張可能か？
• RQ2 任意に大きな p-群が作用するが、アーベル部分群のサイズが |Γ|^ε で有界（任意の ε > 0）となる多様体は存在するか？
• RQ3 主バンドルとトーラス上のシンプレクティック形式を用いて、非ジョーダン的微分同相群の構成を一般化可能か？
• RQ4 基本群が有限核をもつ場合、p-群作用が T^{2nr}×X 上で有効であるための条件は何か？
• RQ5 p-群において大きなアーベル部分群が存在しない場合、それが微分同相群における非ジョーダン的性質を示唆する条件は何か？

主な発見

• 任意の n, r ∈ ℕ に対して、関数 τ, M: ℕ → ℕ が存在し、X が SU(τ(n))^{r} のほぼ有効作用（核 H をもつ）をもてば、p > M(n) かつ p ≡ 1 mod n+1 なる素数 p に対して、T^{2nr}×X に有効な p-群作用が存在する。
• 構成された p-群 Γ は位数 p^{2n+r} をもち、r=1 のとき、Γ の任意のアーベル部分群のサイズは p^{n+1} 以下である。
• r > 1 のとき、Γ の任意のアーベル部分群のサイズは p^{2 + r + 4n/r} 以下であり、これは群の位数に対して非線形的に増加する。
• p が H の位数 |H| を割り切らない限り、T^{2nr}×X 上の作用の有効性が保証される。
• 元の T²×S² の結果を、高次元トーラスと任意の SU(τ(n))^{r}-作用をもつ多様体 X を含む積多様体へ一般化している。
• この結果により、T^{2nr}×X の微分同相群はジョーダン的ではなく、非ジョーダン的性質が広いクラスのコンパクト多様体へ拡張されることを示している。