[論文レビュー] Non Projected Calabi-Yau Supermanifolds over $\mathbb{P}^2$

Sergio L. Cacciatori, Simone Noja+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{P}^2$ 上の非投影的 Calabi-Yau 超多様体（次元 $2|2$）を分類し、それらが非ゼロのコhomology類 $\omega \in H^1(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^2}(-3))$ とランク $0|2$ の局所自由層 $\mathcal{F}_M$ によって完全に決定されることを示している。ここで $\mathrm{Sym}^2\mathcal{F}_M \cong K_{\mathbb{P}^2}$ が成り立つ。主な結果は、このようなすべての超多様体が Calabi-Yau であり、非投影的であるが、超 Grassmann多様体へ埋め込み可能であるということである。特に $\mathcal{F}_M = \Omega^1_{\mathbb{P}^2}$ のとき、特殊な場合に Manin の $\Pi$-プロジェクトイブ平面と一致する。

ABSTRACT

We start a systematic study of non-projected supermanifolds, concentrating on supermanifolds with fermionic dimension 2 and with the reduced manifold a complex projective space. We show that all the non-projected supermanifolds of dimension $2|2$ over $\mathbb{P}^2$ are completely characterised by a non-zero 1-form $ω$ and by a locally free sheaf $\mathcal{F}$ of rank $0|2$, satisfying $Sym^2 \mathcal{F} \cong K_{\mathbb{P}^2}$. Denoting such supermanifolds with $\mathbb{P}^{2}_ω(\mathcal{F})$, we show that all of them are Calabi-Yau supermanifolds and, when $ω eq 0$, they are non-projective, that is they cannot be embedded into any projective superspace $\mathbb{P}^{n|m}$. Instead, we show that every non-projected supermanifolds over $\mathbb{P}^2$ admits an embedding into a super Grassmannian. By contrast, we give an example of a supermanifold $\mathbb P^{2}_ω(\mathcal F)$ that cannot be embedded in any of the $Π$-projective superspaces $\mathbb P^{n}_Π$ introduced by Manin and Deligne. However, we also show that when $\mathcal F$ is the cotangent bundle over $\mathbb{P}^2$, then the non-projected $\mathbb{P}^2_ω(\mathcal F)$ and the $Π$-projective plane $\mathbb P^{2}_Π$ do coincide.

研究の動機と目的

• 非投影的超多様体でフェルミオン次元が 2 で、基底多様体が $\mathbb{P}^2$ であるものを体系的に研究すること。
• コhomological および層論的データを用いて、$\mathbb{P}^2$ 上の次元 $2|2$ のすべての非投影的超多様体を特徴付けること。
• このような超多様体がカラビ-ヤウであること、および任意のスプリットプロジェクトイブ超空間 $\mathbb{P}^{n|m}$ に埋め込めないことの証明。
• 超 Grassmann多様体への埋め込み可能性を調査し、$\Pi$-プロジェクトイブ空間と比較すること。

提案手法

• 分類には、分裂の障害として非ゼロのコhomology類 $\omega \in H^1(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^2}(-3))$ を用いる。
• フェルミオン層 $\mathcal{F}_M$ は $\mathrm{Sym}^2\mathcal{F}_M \cong K_{\mathbb{P}^2}$ を満たす必要がある。これによりカラビ-ヤウ構造が保証される。
• 超多様体 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$ は、層 $\mathcal{F}_M$ を持つスプリット超多様体の変形として構成される。
• 超 Grassmann多様体への埋め込みは一般定理（定理 6.1）によって確立され、すべてのこのような超多様体が線形埋め込みをもつことが示された。
• $\Pi$-プロジェクトイブ平面 $\mathbb{P}^2_\Pi$ は、遷移関数と層データの比較により、$\mathcal{F}_M = \Omega^1_{\mathbb{P}^2}$ のとき一致することが示された。
• コhomological 計算と遷移関数の一致を用いて、$\Pi$-プロジェクトイブ空間との同型を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $2|2$ の $\mathbb{P}^2$ 上の非投影的超多様体の完全な分類は何か？
• RQ2 このような超多様体のうち、カラビ-ヤウであるものはどれであり、その性質を保証する条件は何か？
• RQ3 $\mathbb{P}^2$ 上の非投影的超多様体はプロジェクトイブ超空間に埋め込めるか？ もしできないなら、どのような空間に埋め込めるか？
• RQ4 非投影的超多様体が Manin の $\Pi$-プロジェクトイブ平面 $\mathbb{P}^2_\Pi$ と一致するのはいつか？
• RQ5 $\Pi$-プロジェクトイブ幾何の実現において、余接束 $\Omega^1_{\mathbb{P}^2}$ の役割は何か？

主な発見

• すべての $\mathbb{P}^2$ 上の次元 $2|2$ の非投影的超多様体は、非ゼロの $\omega \in H^1(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^2}(-3))$ と $\mathrm{Sym}^2\mathcal{F}_M \cong K_{\mathbb{P}^2}$ を満たす層 $\mathcal{F}_M$ によって分類され、超多様体 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$ を形成する。
• このようなすべての超多様体は、超的意味での正則な canonical バンドルをもつためカラビ-ヤウである。
• $\omega \neq 0$ のとき、超多様体 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$ は非投影的であり、任意のスプリットプロジェクトイブ超空間 $\mathbb{P}^{n|m}$ に埋め込めない。
• すべての非投影的超多様体は、定理 6.1 により超 Grassmann多様体へ線形埋め込みをもつ。
• $\mathcal{F}_M = \Omega^1_{\mathbb{P}^2}$ のとき、超多様体 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal{F}_M)$ は Manin の $\Pi$-プロジェクトイブ平面 $\mathbb{P}^2_\Pi$ と一致する。これは遷移関数の一致により検証された。
• $\Pi$-プロジェクトイブ平面 $\mathbb{P}^2_\Pi$ は、非ゼロの $\omega$ に対して $\mathbb{P}^2_\omega(\Pi\Omega^1_{\mathbb{P}^2})$ と同型であり、$G(1|1, \mathbb{C}^{3|3})$ に埋め込まれる。