[論文レビュー] Non-properly Embedded H-Planes in Hyperbolic 3-Space

Barış Coşkunuzer, William H. Meeks+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の $ H \in [0,1) $ に対して、双曲的3次元空間 $ \mathbb{H}^3 $ に、定常的で、単純に連結で、非正しく埋め込まれた定常的平均曲率 $ H $ の $ H $-表面を構成する。この表面は2つの安定な球面的 $ H $-キャタネイドの間にある。表面はそれらの間の領域を畳み込む部分をなしており、その閉包は三枚の葉を持つラミネーションをなし、回転型キリングベクトル場の各積分曲線をちょうど一度交差する。これは安定性および完全性にもかかわらず、非正しく埋め込まれていることを示している。

ABSTRACT

For any H in [0,1), we construct complete, non-proper, stable, simply-connected surfaces with constant mean curvature H embedded in hyperbolic 3-space.

研究の動機と目的

• $ \mathbb{H}^3 $ において、$ H \in [0,1) $ の定常的平均曲率を持つ完全で、非正しく埋め込まれており、安定で単純に連結な表面を構成し、このような表面が常に正しく埋め込まれていると予想されるのを覆す。
• カラビ＝ヤウ予想が $ \mathbb{H}^3 $ における非ゼロの定常的平均曲率に拡張されないことを、明示的な反例を提示することで示す。
• 無限遠でねじれの曲線に漸近し、回転型キリングベクトル場と横断的にちょうど一度交差する非正しく埋め込まれた $ H $-平面の幾何的実現を提供する。
• 特に、単位根半径と有限トポロジーの観点から、双曲空間における定常的平均曲率表面の正しく埋め込まれる性質の理解を拡張する。

提案手法

• 原点からの距離 $ \lambda $ をパラメータとする、安定な球面的 $ H $-キャタネイド $ \mathcal{C}^\lambda $ の1パラメータ族を、$ \mathbb{H}^3 $ のポincare球面モデルを用いて構成する。
• 2つのキャタネイドの間で、$ \mathcal{F} = \{ \mathcal{C}^\lambda \mid \lambda \in [\lambda_1, \lambda_2] \} $ という畳み込みを構成し、$ W \subset \mathbb{H}^3 $ の領域を形成する。
• キリングベクトル場 $ V_y $ と横断的に交差する表面の族の極限として、主要な表面 $ \Sigma_H $ を得る。この表面は1パラメータ族の双曲的平行移動 $ \phi_\varepsilon $ を用いて構成される。
• $ \Sigma_H $ が回転型キリングベクトル場の各積分曲線と横断的にちょうど1点で交差することを示す。これは、ゴメス族の性質とジャコビ場の解析を用いる。
• $ \Sigma_H $ は構成上、安定で単純に連結であることが保証され、その閉包は2つのキャタネイドと自身を含む三枚の葉を持つラミネーションを形成する。
• $ \Sigma_H $ の漸近的境界が、2つのキャタネイドの漸近的境界の和集合にねじれながら漸近することを、リンク数と横断的交差に関する位相的・幾何的議論によって示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{H}^3 $ において、$ H \in [0,1) $ のとき、完全で非正しく埋め込まれ、単純に連結な $ H $-表面が存在するか？
• RQ2 $ H < 1 $ のとき、安定性および有限トポロジーの仮定のもとでも、$ \mathbb{H}^3 $ における定常的平均曲率表面の正しく埋め込まれる性質が失われるのか？
• RQ3 無限遠でねじれの曲線に漸近し、回転型キリングベクトル場と横断的にちょうど一度交差する非正しく埋め込まれた $ H $-平面を構成できるか？
• RQ4 2つの安定なキャタネイドを境界成分とする、$ \mathbb{H}^3 $ の領域を $ H $-表面によって畳み込むことができるか？

主な発見

• 任意の $ H \in [0,1) $ に対して、$ \mathbb{H}^3 $ に完全で単純に連結で安定な $ H $-表面 $ \Sigma_H $ が存在し、それは非正しく埋め込まれている。
• $ \Sigma_H $ の閉包は、$ \Sigma_H $、$ C_1 $、$ C_2 $ からなる三枚の葉を持つラミネーションを形成する。ここで $ C_1 $ と $ C_2 $ は同じ回転軸を持つ安定な球面的 $ H $-キャタネイドである。
• $ \Sigma_H $ の漸近的境界は、$ \partial_\infty \mathbb{H}^3 $ 内に埋め込まれた2つの曲線から成り、$ C_1 $ と $ C_2 $ の漸近的境界の和集合にねじれながら漸近する。
• 回転型キリングベクトル場 $ K_L $ の各積分曲線は、$ \Sigma_H $ をちょうど1点で横断的に交差する。これは、$ C_1 $ と $ C_2 $ の間の領域が、$ \Sigma_H $ の回転コピーによって畳み込まれていることを示している。
• 表面 $ \Sigma_H $ は、1パラメータ族の双曲的平行移動に沿って横断する表面の極限として構成され、完全性と定常的平均曲率を保ちつつ非正しく埋め込まれることを保証する。
• 本結果により、$ \mathbb{H}^3 $ における最小曲率および高 $ H $ の CMC 表面の正しく埋め込まれる性質が $ H \in [0,1) $ に拡張されないことが示され、一般化されたカラビ＝ヤウ型の予想に対する反例を提供する。