[論文レビュー] Non-submodular Function Maximization subject to a Matroid Constraint, with Applications

Khashayar Gatmiry, Manuel Gomez-Rodriguez|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般のマトロイド制約下における非単調で非サブモジュラな集合関数の最大化に対する標準的グリーディアルゴリズムの理論的分析を提案する。2つの近似保証を確立する：1つはサブモジュラリティ比 γ に基づくもの（0.4γ²/(√(γr)+1)）、もう1つは一般化された曲率 α に基づくもの（(1+1/(1−α))⁻¹）。実世界の応用分野、たとえばリンク推薦やガウス graphical モデル推定において実用的で競争力のある性能を示す。

ABSTRACT

The standard greedy algorithm has been recently shown to enjoy approximation guarantees for constrained non-submodular nondecreasing set function maximization. While these recent results allow to better characterize the empirical success of the greedy algorithm, they are only applicable to simple cardinality constraints. In this paper, we study the problem of maximizing a non-submodular nondecreasing set function subject to a general matroid constraint. We first show that the standard greedy algorithm offers an approximation factor of $\frac{0.4 γ^{2}}{\sqrt{γr} + 1}$, where $γ$ is the submodularity ratio of the function and $r$ is the rank of the matroid. Then, we show that the same greedy algorithm offers a constant approximation factor of $(1 + 1/(1-α))^{-1}$, where $α$ is the generalized curvature of the function. In addition, we demonstrate that these approximation guarantees are applicable to several real-world applications in which the submodularity ratio and the generalized curvature can be bounded. Finally, we show that our greedy algorithm does achieve a competitive performance in practice using a variety of experiments on synthetic and real-world data.

研究の動機と目的

• 非単調で非サブモジュラな集合関数の最大化におけるグリーディアルゴリズムの理論的保証を、基数制約を超えて一般のマトロイド制約へ拡張すること。
• サブモジュラリティ比 γ と一般化された曲率 α を用いて、標準的グリーディアルゴリズムの近似要因を確立すること。
• これらの理論的保証が、可視性最大化やガウス graphical モデル推定などの実世界の応用において実用的であることを示すこと。
• 合成データおよび実世界データを用いた実験により、アルゴリズムの競争力ある性能を検証すること。

提案手法

• 本稿は、マトロイド制約下における標準的グリーディアルゴリズムの理論的分析を提示し、サブモジュラリティ比 γ を用いてサブモジュラリティからの逸脱度を定量化する。
• γ-弱サブモジュラ関数における性能を束縛する近似要因 0.4γ²/(√(γr)+1) を導出する。ここで r はマトロイドのランクを表す。
• 一般化された曲率 α を用いた定数近似要因 (1+1/(1−α))⁻¹ を導入し、関数がモジュラーに近いかどうかを測る。
• γ と α が近似保証に与える影響を理論的に導出し、それらをリンク推薦やガウスグラフィカルモデルなどの実世界問題に適用する。
• 合成データおよび実世界データを用いてアプローチを検証し、ヒューリスティクスと比較して可視性と実行時間を測定する。
• 実験的評価では、理論的および実測の可視性指標を用いて、グリーディ解の頑健性と収束性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的グリーディアルゴリズムは、一般のマトロイド制約下で非サブモジュラ関数最大化に対して非自明な近似保証を達成できるか？
• RQ2 サブモジュラリティ比 γ とマトロイドランク r の観点から、グリーディアルゴリズムの近似要因は何か？
• RQ3 一般化された曲率 α を用いて、この設定下でグリーディアルゴリズムの定数近似要因を導出できるか？
• RQ4 これらの理論的近似保証は、リンク推薦やガウスグラフィカルモデル推定といった実世界の応用において実用的であるか？
• RQ5 可視性と実行時間の観点から、グリーディアルゴリズムの性能はヒューリスティクスベースラインと比べてどうか？

主な発見

• 非単調で非サブモジュラな関数に対する標準的グリーディアルゴリズムは、マトロイド制約下で近似要因 0.4γ²/(√(γr)+1) を達成する。ここで γ はサブモジュラリティ比、r はマトロイドランクを表す。
• アルゴリズムは一般化された曲率 α を用いて定数近似要因 (1+1/(1−α))⁻¹ を達成し、特定の関数クラスではよりタイトな境界を提供する。
• 理論的近似保証は、可視性最大化や木構造を持つガウスグラフィカルモデル推定といった実世界問題に適用可能であり、γ と α が有界である場合に有効である。
• 合成データおよび実世界データを用いた実験により、グリーディアルゴリズムは複数のヒューリスティクス（CP、UP、CUP）を上回る可視性性能を、さまざまなパrameter設定で示した。
• 実測可視性を用いたグリーディ解の解は理論的解に収束し、頑健性と実用的信頼性を確認した。
• 実行時間はブロードキャスター数に線形に比例し、大規模なインスタンスに対しても良好なスケーラビリティを示した。