[論文レビュー] Non-Unitary and Unitary Transitions in Generalized Quantum Mechanics and Information Problem Solving

Alexander Shalyt-Margolin|ArXiv.org|Sep 25, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子重力におけるユニタリティが、一般化量子力学（QMFL）と標準量子力学（QM）の間の非ユニタリな遷移によって保たれることを提案している。ブラックホールの存在が駆動要因となる。次元のないパラメータ $\alpha = l_{\text{min}}^2/x^2$ を用いて密度行列とヘイゼンベルク代数を変形することで、ビッグバン（QMFL → QM）およびブラックホール形成（QM → QMFL）の過程で情報が保存されることを示し、閉じた対称的遷移サイクルによってホーキングの情報パラドックスが解決される。

ABSTRACT

The present work is a study of the unitarity problem for Quantum Mechanics at Planck Scale considered as Quantum Mechanics with Fundamental Length (QMFL).In the process QMFL is described as deformation of a well-known Quantum Mechanics (QM). Similar to previous works of the author, the basic approach is based on deformation of the density matrix (density pro-matrix) with concurrent development of the wave function deformation in the respective Schrodinger picture. It is demonstrated that the existence of black holes in the suggested approach in the end twice results in nonunitary transitions (first after the Big Bang of QMFL to QM, and then when on trapping of the matter into the black hole the situation is just the opposite - from QM to QMFL)and hence in recovery of the unitarity. In parallel this problem is considered in the deformation terms of Heisenberg algebra, showing the identity of the basic results. From this an explicit solution for Hawking's informaion paradox has been derived

研究の動機と目的

• 量子重力における情報パラドックスを解消するため、基本長を有する量子力学（QMFL）の文脈におけるユニタリティの再解釈を目的とする。
• 密度行列とヘイゼンベルク代数の変形を用いて、プランクスケールにおける量子重力の整合的枠組みを確立すること。
• ブラックホール形成とビッグバンが、それぞれ非ユニタリな遷移でありながら、総体としてユニタリティと情報保存を回復することを示すこと。
• 密度行列の変形とヘイゼンベルク代数の変形の二つのアプローチを統合し、量子重力の整合的像を構築すること。
• ボースケイン＝ホーキングのエントロピー公式を第一原理から導出し、最小面積当たりのエントロピー密度の概念を拡張すること。

提案手法

• プランクスケールにおける量子力学（QMFL）を記述する次元のない変形パラメータ $\alpha = l_{\text{min}}^2/x^2$ を導入し、$0 < \alpha \leq 1/4$ として、次元を持つパラメータの代わりに用いる。
• 変形された密度行列 $\rho(\alpha) = \sum_i \omega_i(\alpha) |i\rangle\langle i|$ を定義し、$\text{Sp}[\rho(\alpha)] - \text{Sp}^2[\rho(\alpha)] \approx \alpha$ を満たすようにし、有限なトレースと $\alpha \to 0$ 時における標準QMへの連続的回復を保証する。
• 密度行列のトレースを $\text{Sp}[\rho(\alpha)] \approx \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \alpha}$ として導出し、$\alpha \to 0$ 時に1に還元されることで、標準QMが回復されることを示す。
• 同様にヘイゼンベルク代数に対しても変形を適用し、$\kappa$-変形された交換関係を導入する：$[x_i, x_j] = -\frac{\hbar^2}{\kappa^2} i\epsilon_{ijk} J_k$ および $[x_i, p_j] = i\hbar \delta_{ij} (1 + \frac{E^2}{\kappa^2})^{1/2}$。$\kappa \to \infty$ 時に標準的な交換関係が回復される。
• ビッグバンを QMFL（$\kappa \sim M_p$）から QM（$\kappa = \infty$）への非ユニタリ遷移としてモデル化し、ブラックホール形成を逆方向のプロセスとして扱い、閉じたサイクルを形成する。
• 初期特異点と最終特異点（$\alpha \approx 1/4$）におけるエントロピー密度が同一であることを示し、$S^{\text{in}} = S^{\text{out}} = S^{\alpha=1/4}_{1/4}$ となる。これは情報保存を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プランクスケールにおける非ユニタリ遷移が存在するにもかかわらず、量子重力においてユニタリティを保てるか？
• RQ2 ブラックホールの存在が、一般化量子力学枠組み内での量子情報の保存にどのように影響するか？
• RQ3 パラメータ $\alpha = l_{\text{min}}^2/x^2$ が QMFL と標準QMの整合性を保つ上で果たす役割は何か？
• RQ4 この変形量子力学枠組み内でボースケイン＝ホーキングのエントロピー公式を第一原理から導出可能か？
• RQ5 密度行列の変形とヘイゼンベルク代数の変形の二つのアプローチには、情報パラドックスの解決において双対的あるいは等価な関係があるか？

主な発見

• ビッグバン後の QMFL から標準QMへの遷移は非ユニタリ的であるが、ブラックホール形成時に逆方向の遷移が発生し、ユニタリティが回復され、全情報が保存される。
• 初期特異点（$\alpha \approx 1/4$）におけるエントロピー密度と最終状態（$\alpha \approx 1/4$）におけるエントロピー密度が同一であり、$S^{\text{in}} = S^{\text{out}} = S^{\alpha=1/4}_{1/4}$ である。これは情報保存を示唆する。
• 変形された密度行列形式により $\text{Sp}[\rho(\alpha)] \approx \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \alpha}$ が得られ、$\alpha \to 0$ 時に滑らかに1に還元され、標準QMが回復される。
• $\kappa$-変形ヘイゼンベルク代数は、密度行列の変形と同一の物理的結果を再現し、二つのアプローチの整合性を確認する。
• 情報パラドックスは解決される：ブラックホールは情報破壊ではなく、逆方向の非ユニタリ遷移を引き起こし、ユニタリティと情報内容を回復する。
• 本フレームワークにより、ボースケイン＝ホーキングのエントロピー公式を第一原理から導出し、最小面積当たりのエントロピー密度の洗練された概念を導入する。